Uma partícula possui a energia potencial representada na FIGURA EX11.19. Qual é o componente x da força exercida sobre a partícula em x = 1 m e x = 4 m?

Passo 1

Foi dado o gráfico de U versus a posição x e nos foi pedido a força que atua sobre a partícula. Qual propriedade devemos usar para calcular tal força? Vamos usar a seguinte propriedade: a força é o negativo da derivada de U em relação a x . Em linguagem matemática, temos:

F = - d U d x

Porém, geometricamente, o que quer dizer uma derivada? Quando calculamos a derivada de uma curva em um ponto P , estamos calculando também o coeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto P ; porém quando a “curva” na verdade é uma reta (como no caso dessa questão), o coeficiente angular da reta tangente é na verdade o coeficiente angular da própria reta!

Assim, se calcularmos o coeficiente angular da reta, vamos conseguir obter a força.

Passo 2

Quando em x = 1   m , temos:

O coeficiente angular será igual a tangente do ângulo assinalado na figura. Pela trigonometria do triângulo retângulo, temos que:

tan ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t d U d x = 60 3 d U d x = 20

Ou seja, temos que:

F = - 20   N

Passo 3

Quando em x = 4   m , temos

O coeficiente angular será a tangente do ângulo assinalado. Note que tal tangente é negativa, pois a reta é decrescente.

tan ⁡ θ = - 60 5 - 3 d U d x = - 30

Portanto, segue que:

F = 30   N

Resposta

-20 N e 30 N.

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