Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 91
Um pássaro de está voando horizontalmente a , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo a abaixo do topo. A barra homogênea com de comprimento e massa de está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro, que cai ao chão em seguida. Qual é a velocidade angular da barra
a) logo após ser atingida pelo pássaro e
b) assim que atinge o solo?
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um pássaro de está voando horizontalmente a , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo a abaixo do topo.
A barra homogênea com de comprimento e massa de está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro, que cai ao chão em seguida.
Queremos calcular a velocidade angular da barra a) logo após ser atingida pelo pássaro e b) assim que atinge o solo.
Para isso, precisamos saber que o momento angular inicial é igual ao momento angular final (conservação do momento):
Passo 2
- Bom... essa é uma questão que envolve colisão com rotação. Portanto, iremos calcular o momento angular inicial e final e iguala-los.
- Agora, para encontrar a velocidade da barra no momento que ela atinge o solo, vamos considerar a barra como sendo nosso sistema aonde iremos conservar a energia mecânica.
O momento angular inicial é dado apenas pelo momento angular do pássaro antes de colidir com a barra.
O pássaro pode ser considerado como uma partícula, por isso, seu momento angular inicial será:
Onde é a massa do pássaro, é o raio do movimento, é a velocidade do pássaro e é o ângulo entre a barra e o chão.
Imediatamente antes de colidir com a barra, o ângulo será , portanto o seno dará:
E o raio do movimento será o comprimento da barra menos , pois o passáro atinge a barra há uma distância de da extremidade:
Portanto, o momento angular inicial será:
Passo 3
O momento angular final, após a colisão será apenas o momento angular da barra. Isso ocorre, pois o pássaro fica atordoado e cai em direção ao chão.
Ou seja, após a colisão o pássaro fica sem velocidade nenhuma e portanto seu momento angular é zero.
Já a barra, pode ser considerada como um corpo rígido e seu momento angular final será dado como:
Onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.
Precisamos saber portanto o momento de inércia de uma barra. Mas antes tome cuidado com uma coisa!
A barra irá rotacionar ao redor da sua extremidade, por isso, precisamos usar o momento de inércia de uma barra ao redor da sua extremidade, que é:
Portanto, o momento angular final será:
Igualando os momentos angulares, teremos:
Isolando ω:
Agora vamos resolver!
Passo 4
Substituindo os dados fornecidos pelo enunciado,
Passo 5
No início, ela sai da posição vertical com a velocidade angular que encontramos no item anterior e no final atingirá o solo na posição horizontal.
Relacionando as energias envolvidas, temos:
Para o cálculo da energia cinética, faremos:
Já para o cálculo da energia potencial, faremos:
Passo 3
Aonde é a altura do centro de massa, sendo assim, no início, na posição vertical, o centro de massa da barra estava a uma altura de do solo.
E no final, com a barra na posição horizontal, teremos a altura do centro de massa como sendo zero, pois a barra estará toda no solo.
Portanto, não há energia potencial gravitacional final.
Agora, igualando as energias, teremos:
Multiplicando por 2 para ficar mais fácil e substituindo o momento de inércia pela expressão do momento de inércia de uma barra rotacionando ao redor de sua extremidade:
Cortando a massa e substituindo os valores:
Sendo assim, encontraremos uma velocidade angular final de:
Resposta
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