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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 95

Em um laboratório de física, você realiza a seguinte experiência de pêndulo balístico; usando uma espingarda de mola, você dispara uma bala com massa m e velocidade v na direção da horizontal. A bala fica imediatamente presa a uma distância   r abaixo de um eixo sem atrito por um dispositivo de massa M que a retém e que pode girar sem atrito em torno do pivô. O momento de inércia desse dispositivo em torno do pivô é igual a   I . A distância   r é muito maior do que o raio da bala.

a) Use a lei da conservação do momento angular para mostrar que a velocidade angular do sistema logo após o momento em que a bala é retida é dada por ω =   m v r m r 2 + I

b) Depois que a bala fica retida, o centro de massa do sistema bala-dispositivo retentor oscila para cima e atinge uma altura máxima h . Use a lei da conservação da energia para mostrar que ω =   2 M + m g h m r 2 + I

c) Sua amiga de laboratório diz que o momento linear é conservado na colisão e deduz a relação m v = m + M V onde V é a velocidade da bala depois da colisão. A seguir, ela usa a lei da conservação da energia para mostrar que V =   2 g h logo m v = m + M 2 g h .Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse resultado é satisfeito somente no caso particular em que r é obtido da relação I   =   M r 2 .

Passo 1

Olá! Tudo bom? Essa questão tem o enunciado grande, mas ela é bem direta. Vamos lá!

Queremos mostrar que a velocidade angular do sistema logo após o momento em que a bala é retida é dada por ω =   m v r m r 2 + I .

Para isso, precisaremos aplicar a conservação do momento angular:

I 0 = I f

Onde I 0 é o momento angular inicial e I f , o final.

Em seguida, queremos mostrar pela Lei de Conservação de Energia que:

ω =   2 M + m g h m r 2 + I

Depois que a bala fica retida, o centro de massa do sistema bala-dispositivo retentor oscila para cima e atinge uma altura máxima h .

Passo 2

  1. Temos que achar aqui uma equação para a velocidade angular ω , utilizando a lei de conservação do momento angular. Mas antes vamos lembrar algumas coisinhas!

    2. O momento angular inicial será dado por:

    I o = m v r

    Enquanto o momento angular final será:

    I f = I + m r 2  

    A velocidade angular então será essa razão,

    ω =   I o I f

    Logo,

    ω =   m v r I + m r 2

    Onde m é a massa da bala, v é a velocidade, r é o raio, ω é a velocidade angular.

    Passo 3

  2. Seguindo com o enunciado, agora vamos olhar para energia cinética E c após uma colisão, que pode ser vista como:

    3. E c =   ω 2 I f 2

    A energia potencial E p será:

    E p = M + m g h

    Onde M é a massa do dispositivo, g é a aceleração da gravidade e h é a altura.

    Igualando as duas energias e substituindo a momento de inercia final pela expressão já mostrada na questão passada, temos:

    ω 2 ( I + m r 2 ) 2 = M + m g h

    Isolando a velocidade angular, chegaremos a:

    ω =   2 M + m g h m r 2 + I

    Tudo certinho?

    Passo 4

  3. Por fim, para resolver o último item, pegaremos a equação I = M r 2 e substituiremos na equação que encontramos na letra A:

ω =   m v r I + m r 2

Fica assim,

ω =   m v r M r 2 + m r 2

Pondo o r 2 em evidencia no denominador teremos:

ω =   m v r ( M + m ) r 2

ω =   m ( M + m ) . v r

Através desse resultado, igualando essa equação àquela encontrada na letra B:

m ( M + m ) . v r = 2 M + m g h m r 2 + I

Usando as relações que nos foi dado, olhemos apenas para o numerador:

m v = m + M V

m v =   2 M + m g h

Logo, comparativamente:

V =   2 g h

m v = m + M 2 g h

Resposta

A aproximação I = M r 2 aplica-se aproximadamente quando o pêndulo consiste em um coletor pesado montado em um braço leve. No aparato atual, parte da massa é distribuída mais perto do eixo e I < M r 2 .

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