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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 19

Um pião cônico homogêneo de massa M tem raio da base R e altura h . (a) Calcule a posição do centro de massa do pião. (b) Com o auxilio do resultado do probl. 5, calcule a velocidade angular Ω de precessão regular do pião quando ele é colocado em rotação rápida, de velocidade angular ω em torno do seu eixo, com a ponta apoiada no chão. (c) Se o pião precessiona com seu eixo inclinado de θ em relação a vertical, qual é a força horizontal de reação F exercida sobre seu ponto de apoio? (d) Calcule Ω e | F | para M = 300   g , R = 4   m , h = 12   c m

Passo 1

Falaiii galerinha, bora lá?

  1. Como o pião é simétrico com relação ao eixo x e y :

    x c m = 0 e y c m = 0

    No eixo z :

    d m = ρ π r 2 d z

    h c m = 1 M ∫ 0 h z d m = 1 M ∫ 0 h z ρ π r 2 d z

    Da semelhança r R = z h . Logo,

    h c m = 1 M ∫ 0 h z ρ π ⋅ z R h d z

    h c m = 1 M ρ π R 2 h 2 ∫ 0 h z 3 d z

    Logo,

    h c m = 1 M ρ π R 2 h 2 ⋅ z 4 4 | 0 h =   1 M ρ π R 2 h 2 ⋅ h 4 4

    Como M = ρ 1 3 π r 2 h :

    h c m =   1 ρ 1 3 π r 2 h ⋅ ρ π R 2 h 2 ⋅ h 4 4 = 3 h 4

    Portanto

    h c m = 3 h 4

    Passo 2

  2. A velocidade angular de precessão é

    3. Ω = M g l I ω

    Ω = M g 3 h 4 3 M R 2 10 ω

    Ω = 5 g h 2 R 2 ω

    Passo 3

  3. F = M a c p

    Como a c p = Ω 2 R ' :

    F = M Ω 2 R '

    Por fim,

    F = 3 M Ω 2 h s e n θ 4

    Passo 4

  4. Substituindo os valores fornecidos, iremos obter como resposta

Ω = 1839 ω   r a d / s

F = 91349 ω 2   s e n θ N

Resposta

  1. h c m = 3 h 4

  2. Ω = 5 g h 2 R 2 ω

  3. F = 3 M Ω 2 h s e n θ 4

  4. Ω = 1839 ω   r a d / s ,     F = 91349 ω 2   s e n θ N
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