Enunciado

Uma prancha de 3,0   m , com 5,0   k g de massa, é articulada em uma de suas extremidades. Uma força F → é aplicada verticalmente sobre a outra extremidade, e a prancha forma um ângulo de 30 ° com a horizontal. Um bloco de 60   k g é colocado sobre a prancha, a 80   c m da articulação, como mostrado na Figura 12-34. (a) Determine a magnitude da força F → . (b) Determine a força exercida pela articulação. (c) Determine a magnitude da força F → , bem como a força exercida pela articulação, se F → for exercida, agora, formando um ângulo reto com a prancha.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O diagrama de corpo livre do sistema é dado por:

Aplicando ∑ τ → = 0 , temos:

F 3   m cos ⁡ 30 ° - m g 1,5   m cos ⁡ 30 ° - M g 0,8   m c o s 30 °   = 0

F = m 1,5   m + M ( 0,8   m ) 3   m g

Substituindo os valores, temos:

F = 5   k g 1,5   m + ( 60   k g ) ( 0,8   m ) 3   m ( 9,81   m / s 2 )

F = 181   N

Passo 2

Item (b):

A força exercida pela articulação pode ser obtida através da aplicação da segunda lei de Newton. Temos:

∑ F y = 0

F a - M g - m g + F = 0

F a = M g + m g - F

F a = M + m g - F

Substituindo os valores, temos:

F a = 60   k g + 5   k g ( 9,81   m / s 2 ) - 181   N

F a = 0,46   k N

Passo 3

Item (c):

O novo diagrama para o sistema está exposto abaixo:

Aplicando ∑ τ → = 0 , temos:

F 3   m - m g 1,5   m cos ⁡ 30 ° - M g 0,8   m c o s 30 °   = 0

F = m 1,5   m + M ( 0,8   m ) 3   m g cos ⁡ 30 °

Substituindo os valores, temos:

F = 5   k g 1,5   m + ( 60   k g ) ( 0,8   m ) 3   m ( 9,81   m / s 2 ) cos ⁡ 30 °

F = 157   N

A força exercida pela articulação pode ser obtida através da aplicação da segunda lei de Newton. Temos:

∑ F y = 0

F a sin ⁡ θ - M g - m g + F cos ⁡ 30 ° = 0

F a = M g + m g - F

F a sin ⁡ θ = M + m g - F cos ⁡ 30 °

∑ F x = 0

F a cos ⁡ θ - F sin ⁡ 30 ° = 0

F a cos ⁡ θ = F sin ⁡ 30 °

Dividindo as equações, temos:

F a sin ⁡ θ F a cos ⁡ θ = M + m g - F cos ⁡ 30 ° F sin ⁡ 30 °

θ = tan - 1 ⁡ M + m g - F cos ⁡ 30 ° F sin ⁡ 30 °

Substituindo os valores, temos:

θ = tan - 1 ⁡ 60   k g + 5   k g ( 9,81   m / s 2 ) - ( 157   N ) cos ⁡ 30 ° ( 157   N ) sin ⁡ 30 °

θ = 81,1 °

Portanto:

F a = ( 157   N ) sin ⁡ 30 ° cos ⁡ 81,1 °

F a = 0,51   k N

Resposta

a ) F = 181   N

b ) F a = 0,46   k N

c )   F = 157   N

F a = 0,51   k N

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