Um balão de hélio é usado para elevar uma carga de 110 N. O peso do envelope do balão é de 50,0 N e o volume do hélio quando o balão está totalmente inflado é . A temperatura do ar é 0°C e a pressão atmosférica é 1,00 atm. O balão é inflado com uma quantidade suficiente de gás hélio e a força ascendente líquida no balão em sua carga é 30.0 N. Negligencie qualquer efeito devido às mudanças de temperatura a altitude muda. a) Quantas mols de gás hélio estão contidas no balão? (b) Em que altitude o balão estará totalmente inflado? (c) O balão já atinge a altitude em qual é totalmente inflado? (d) Se a resposta da Parte (c) for "Sim", qual é a altitude máxima atingida pelo balão?

O item a) pede a quantidade de mols de gás hélio que está contida no balão. Para isso, precisamos saber quais as forças que estão atuando no balão, e relacionar a lei do gás ideal nela.

Dessa maneira, a relação das forças são:

(1)

Ou seja, temos uma força liquida para cima. A força flutuante, também está para cima e os pesos está puxando o balão pra baixo.

Sabendo disso, precisamos relacionar a força flutuante com o volume do hélio e a densidade do ar. Logo, podemos utilizar do princípio de Arquimedes. Com isso,

Sabemos também:

Substituindo as considerações feitas na eq. (1):

Isolando o volume:

Lembra que, podemos relacionar o volume com a lei do gás ideal. Por isso que isolamos, como a lei do gás ideal é dada por:

Pronto! Se substituirmos os valores teremos nossa resposta do item a), também iremos fazer a transformação de para L, pois o nosso R está em ):

Para o encontrarmos a altitude que o balão está totalmente inflado, no item b), teremos que lembrar a expressão da variação da pressão atmosférica com a altitude, dado por:

Onde .

Isolando o h, teremos:

(2)

Podemos relacionar, , com lei do gás ideal:

Substituindo em na eq. (2):

Pronto! Só substituirmos os valores e acharmos a altitude, lembra de fazer a transformação de para L. Portanto:

Primeiro vamos escrever a condição na qual deve ser satisfeita se o balão chegar à altitude totalmente inflada:

(3)

Ou seja, a resultante entre a força flutuante e o peso total tem que ser maior ou igual a zero para satisfazer nossa condição.

A soma de todas os pesos é dada por:

Como,

Temos,

Estamos quase terminando! Expresse a força flutuante em termos da densidade:

Como a densidade do ar depende a pressão atmosférica, podemos relaciona-las, ou seja,

Assim,

Substituindo na expressão da força flutuante, temos que:

Agora vamos substituir a força flutuante na eq. (3):

Como,

Temos,

Pronto! Chegamos na nossa expressão, Ufa! Vamos substituir os valores

Como , o balão vai subir mais alto do que a altitude em que está totalmente inflado

Da eq.(2), podemos achar a altura máxima, pois a densidade é relação com a pressão. Assim,

Sabemos que,

Dessa maneira,

Substituindo os valores, teremos: