Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 19.Problemas Adicionais - Ex. 86
Em um processo industrial, o volume de mols de um gás ideal monoatômico é reduzido, a uma taxa uniforme, de para em , enquanto a temperatura é aumentada, a uma taxa uniforme, de para . Durante o processo, o gás passa por estados de equilíbrio termodinâmico. Qual é (a) o trabalho cumulativo realizado sobre o gás, (b) a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e (c) o calor específico molar para o processo? (Sugestão: para resolver a integral envolvida no cálculo, use a relação
uma integral indefinida.) Suponha que o processo seja substituído por um processo de duas etapas que leva ao mesmo estado final. Na etapa , o volume do gás é reduzido à temperatura constante; na etapa , a temperatura é aumentada a volume constante. Para esse processo, qual é (d) o trabalho cumulativo realizado sobre o gás, (e) a energia cumulativa absorvida pelo gás como calor e (f) o calor específico molar para o processo?
Passo 1
(a) Vamos com calma, é uma questão um pouco incomum. Nosso primeiro objetivo é encontrar o trabalho:
Como a gente não tem a pressão, vamos usar a lei dos gases ideais:
E a integral do trabalho fica:
Ainda não dá pra resolver... Vamos usar o fato de que o volume é reduzido de para em horas (7200 segundos), a uma taxa constante. Podemos usar essa taxa pra montar uma fórmula do volume em função do tempo!
E a mesma coisa pode ser feita com a temperatura:
Nessa última forma, só convertemos a temperatura inicial para Kelvin.
Passo 2
Vamos tentar organizar essas fórmulas na integral:
Retirando as constantes:
O problema agora é trocar esse por um , que é a variável que nós resolvemos usar. Se a gente derivar a fórmula que a achamos para o volume:
E agora é só multiplicar a integral por :
E agora a gente pode usar a “fórmula” de integração que o enunciado deu! Vamos só calcular o produto daquelas constantes antes, e chamar tudo de :
E o tempo vai variar de até segundos:
Passo 3
Seguindo a fórmula do enunciado:
Vamos substituir os limites de integração agora: e .
E então:
Esse é o trabalho realizado pelo gás, como a questão perguntava o trabalho sobre o gás, a resposta é:
Um cálculo bem complicado, mas conseguimos! Mas essa é só a letra (a).
Passo 4
(b) Qual a energia absorvida em forma de calor ao longo desse processo? Vamos pensar na primeira lei da termodinâmica:
Como já temos o trabalho , só falta calcular a variação da energia interna.
Mais uma vez vamos precisar de uma integral... Vamos pensar em um pequeno aumento da energia interna:
E como o gás é monoatômico:
Vamos integrar os dois lados:
Agora vamos dividir e multiplicar tudo por :
E integrar quando vai de até .
E esse é um valor que nós já tínhamos calculado!
E agora é só voltar na primeira lei da termodinâmica:
Então:
Passo 5
(c) O calor específico molar segue essa fórmula aqui:
Passo 6
(d) Como no trecho que acontece a volume constante o trabalho é nulo, só precisamos calcular o trabalho durante a transformação isotérmica.
Por sorte, nesses casos a fórmula do trabalho é bastante simples (só precisamos converter a temperatura para Kelvin!):
Esse é o trabalho realizado pelo gás, o trabalho realizado sobre ele é:
Passo 7
(e) A energia absorvida pelo gás, na forma de calor, em um processo como esse, pode ser calcula em duas etapas.
Na primeira, quando a temperatura é constante, a variação da energia interna é nula. A primeira lei da termodinâmica diz que, nesse caso:
Na segunda, temos um aquecimento a volume constante, então podemos usar essa fórmula aqui:
E como o gás é monoatômico:
Então o trabalho total é:
Passo 8
(f) O calor específico molar desse processo pode ser calculado da mesma forma que fizemos antes:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)