Um próton é projetado para o interior de um campo elétrico uniforme que aponta verticalmente para cima e possui módulo E. A velocidade inicial do próton possui módulo e sua direção forma um ângulo com a horizontal. (a) Calcule a distância máxima que o próton desce verticalmente abaixo de sua altura inicial. Despreze as forças gravitacionais. (b) Depois de qual distância horizontal o próton retorna a sua altura inicial? (c) Faça um esboço da trajetória do próton. (d) Calcule os valores numéricos de e , sabendo que , e .

No eixo não há nenhuma força. Assim, a velocidade em é mantida constante e vale

Assim, temos um movimento uniforme, de modo que podemos escrever a posição em função do tempo :

No eixo há apenas a força elétrica (estamos desprezando o peso, já que a massa do próton é muito pequena). Assim, temos

Usando a 2° lei de Newton:

Note que tem um movimento uniformemente acelerado no eixo . Assim, temos

note que tomamos a velocidade negativa pois ela está para baixo.

Também podemos expressar a velocidade no eixo em função do tempo:

Por fim, podemos escrever a equação de Torricelli para o eixo :

(a) Enquanto a velocidade for negativa (ou seja, apontar para baixo) o próton irá continuar descendo. Observe ainda que a aceleração faz o próton incialmente desacelerar até que . Nesse instante obtemos a altura máxima. Assim, na equação de Torricelli pra o eixo :

Encontramos , já que tal posição está abaixo do eixo .

(b) Vamos calcular o tempo que o próton demora para retomar a . Para fazer isso, basta colocarmos na equação:

Note que temos duas raízes. A primeira não nos interessa; a segunda é:

Substituindo o valor de na equação de versus , temos:

onde usamos a relação .

Podemos obter analiticamente a equação da trajetória isolando na equação versus :

Assim, colocando na equação de versus :

Note que temos a equação de uma parábola com concavidade voltada para cima. Temos o seguinte esboço.

O enunciado não nos forneceu a massa do próton e nem sua carga. Podemos obter tal valor através de uma tabela ou procurando na internet. Os valores tabelados são e . Logo: