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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 48

Prove a seguinte afirmação: para elétrons livres em um sólido, se existe uma probabilidade P de que um estado com uma energia Δ E acima de E F esteja ocupado, então existe uma probabilidade 1 - P de que um estado com uma energia Δ E abaixo de E F esteja ocupado.

Passo 1

Vamos considerar que a probabilidade de ocupação de um nível de energia E é:

f E = 1 e E - E F k T + 1

E digamos que a probabilidade de que um estado com uma energia Δ E acima de E F seja:

f E F + Δ E = 1 e - Δ E k T + 1 = P

E abaixo seja:

f E F - Δ E = 1 e Δ E k T + 1 = 1 - P

Então se somarmos essas duas expressões devemos encontrar 1 , certo?

P + 1 - P = 1

Então vamos somar essas duas expressões e ver no que dá =)

Passo 2

f E F + Δ E + f E F - Δ E = 1 e - Δ E k T + 1 + 1 e Δ E k T + 1

Agora vou fazer o mmc entre essas duas frações:

1 e - Δ E k T + 1 + 1 e Δ E k T + 1 = e Δ E k T + 1 + e - Δ E k T + 1 e - Δ E k T + 1 . e Δ E k T + 1

Embaixo vou multiplicar estilo ‘chuveirinho’ e em cima vou só somar os termos semelhantes:

e Δ E k T + e - Δ E k T + 2 e - Δ E k T . e Δ E k T + e - Δ E k T + e Δ E k T + 1

O produto e - Δ E k T . e Δ E k T é igual a e 0 = 1 , então temos o seguinte:

e Δ E k T + e - Δ E k T + 2 1 + e - Δ E k T + e Δ E k T + 1 = e Δ E k T + e - Δ E k T + 2 e Δ E k T + e - Δ E k T + 2 = 1

Provamos o que queríamos =)

Resposta

f E F + Δ E + f E F - Δ E = 1

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