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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 1.6 - Ex. 20

Quatro astronautas estão em uma estação espacial esférica.

  1. Se, como é comum, cada um deles respira cerca de 500 cm³ de ar a cada respiração, aproximadamente que volume de ar (em metros cúbicos) esses astronautas respiram em um ano?
  2. Qual teria de ser o diâmetro (em metros) da estação espacial para conter todo esse ar?

Passo 1

  1. Primeiro vamos olhar as unidades, como é pedido o volume em metros cúbicos vamos então converter 500 cm³ para m³:

    2. 1 m³ = 1000000 cm³

    X m³ = 500 cm³

    Assim temos:

    1000000   c m 3 ⋅ X   m 3 = 1   m 3 ⋅ 500   c m 3

    X   m 3 = 1   m 3 ⋅ 500   c m 3 1000000   c m 3

    X   = 1 ⋅ 500 1000000 = 5 × 10 - 4

    Pronto, agora vamos supor que cada astronauta respire 12 vezes por minuto, vamos calcular quantas respirações são por ano:

    1 h = 60 m i n

    1 d = 24 h

    1   a n o = 365   d

    12   v e z e s m i n ⋅ 60   m i n 1   h ⋅ 24   h 1   d ⋅ 365   d 1   a n o = 6307200   v e z e s   p o r   a n o

    Bastante respiração hein!!

    Agora fica fácil fácil achar o volume de ar de cada astronauta por ano, é só multiplicar o que achamos pelo volume de ar a cada respiração:

    V = 6307200 ⋅ 5 ⋅ 10 - 4 = 3,1 5 ⋅ 10 3

    E por último vamos multiplicar pelos 4 astronatuas:

    V = 4 ⋅ 3,15 ⋅ 10 3 = 1,2 6 ⋅ 10 4   m 3 / a n o

    Passo 2

  2. Aqui para calcular o volume da estação esférica vamos analisar a fórmula:

V = 4 π r 3 3

Vamos transformar aquele raio em diâmetro, e sabemos que a ligação entre os dois é assim:

d = 2 r → r = d 2

Pronto, agora é substituir isso na fórmula do volume:

V = 4 π r 3 3 = 4 π d 2 3 3 = 4 π d 3 8 3 = 4 π d 3 8 ⋅ 1 3 = 4 π d 3 24

Vamos então isolar o valor de d :

V = 4 π d 3 24 → d = 24 V 4 π 3

E agora é só substituir o valor do volume e achamos o diâmetro:

d = 24 V 4 π 3 = 24 ⋅ 1,26 ⋅ 10 4 4 π 3 = 28,87   m

Resposta

  1. V = 1,26 ⋅ 10 4   m 3 / a n o
  2. d = 28,87 m
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