Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.3 - Ex. 22
O raio e a massa de um buraco negro estão relacionadas através da equação , onde c é a velocidade da luz. Suponha que a aceleração gravitacional de um objeto a uma distância do centro do buraco negro é dado pela Eq. 13-11 (o que é verdade para buracos negros grandes). (a) Determine o valor de a uma distância em termos de . (b) O valor de à distância aumenta ou diminui quando aumenta? (c) Quanto vale _a distância para um buraco negro muito grande cuja massa é vezes a massa solar de ? (d) Se um astronauta com 1,70 m de altura está à distância com os pés voltados para o buraco negro, qual é a diferença entre a aceleração da gravidade da cabeça e dos pés? (e) A astronauta sente algum desconforto?
Passo 1
Este problema divide-se em vários itens, mas é bem tranquilo. Vamos lá! Pra começar, a aceleração da gravidade é dada por uma equação que a gente já tá careca de saber, Basta plugar a distância dada pela equação dos buracos negros. Fica assim então
Substituindo as constantes pelos valores numéricos, a gente tem (a)
Passo 2
Analisando a influência de , a gente percebe que quando ele aumenta, diminui; e vice-versa. Isso já responde a letra (b).
Passo 3
Plugando os valores na equação que a gente chegou na letra (a), a gente fica com
Passo 4
Pra achar a diferença de aceleração entre os pés e a cabeça, a gente pode pegar a equação da aceleração da gravidade e derivar. Com isso a gente fica com em função de . Essa variação é bastante válida quando é bem pequeno. Lembrando que “pequeno” é relativo. No nosso caso, a altura de um ser humano é muito pequena comparada com as dimensões de um buraco negro. Então, derivando e substituindo os valores do problema e , a gente tem
Passo 5
Como essa variação gravitacional é muito pequena, o astronauta nem deve sentir cosquinha com isso.
Resposta
(a)
(b) Analisando a influência de , a gente percebe que quando ele aumenta, diminui; e vice-versa.
(c)
(d) Uma variação de
(e) O astronauta não deve sentir nenhum desconforto com essa variação pequena de gravidade.