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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 33.1 - Ex. 72

Uma rede de difração tem n linhas por unidade de comprimento. Mostre que a separação angular ( ∆ θ ) entre duas linhas de comprimentos de onda λ e λ + ∆ λ é aproximadamente ∆ θ = ∆ λ 1 n 2 m 2 - λ 2 , onde m é o número de ordem.

Passo 1

EAE GALERA, como ta? Tudo bem? Espero que sim! Bora pra mais uma? Chegamais! Nesse problema podemos diferenciar a equação de grade e aproximar d θ d λ de ∆ θ ∆ λ para obter uma expressão ∆ θ em função de m , n , ∆ λ e cos ⁡ θ . Podemos usar a identidade de Pitágoras sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a equação de frade para escrever cos ⁡ θ em função de n , m e λ . Fazendo essas substituições chegaremos à equação dada no problema. Usaremos as seguintes equações:

d sin ⁡ θ = m λ (1)

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 (2)

Dito isto, vamos para a resolução!

Passo 2

Começaremos derivando a equação (1):

d d sin ⁡ θ d λ = d m λ d λ

d cos ⁡ θ d θ d λ = m

cos ⁡ θ d θ d λ = m d

Por conta de n = 1 d , temos:

cos ⁡ θ d θ d λ = m   n

1 m cos ⁡ θ d θ d λ =   n

Aproximando d θ d λ de ∆ θ ∆ λ :

n = 1 m   ∆ θ ∆ λ cos ⁡ θ

Resolvendo para ∆ θ :

∆ θ = n m ∆ λ cos ⁡ θ

Utilizando a identidade de Pitágoras para substituir cos ⁡ θ :

∆ θ = n m ∆ λ 1 - sin 2 ⁡ θ (3)

Da equação (1), sabemos que:

sin ⁡ θ = m λ d

sin ⁡ θ = n m λ

Substituindo sin ⁡ θ na equação (3) e dividindo a expressão por n m :

∆ θ = n m ∆ λ 1 - n 2 m 2 λ 2

∆ θ = n m ∆ λ n m 1 - n 2 m 2 λ 2 n m

∆ θ = ∆ λ 1 - n 2 m 2 λ 2 n m

∆ θ = ∆ λ 1 - n 2 m 2 λ 2 n 2 m 2

∆ θ = ∆ λ 1 n 2 m 2 - λ 2

QUESTÃO FEITA COM SUCESSO, é isso galera, até a próxima! FUIII!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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