Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 18.Exercícios e Problemas - Ex. 14
Com referência ao capacitor visto na Figura 18.22, calcule:
a) o deslocamento elétrico nos dois dielétricos;
b) a polarização dos dois dielétricos;
c) as cargas elétricas nas metades 1 e 2 das placas.
Passo 1
Eai pessoal, beleza?
Esse exercício é uma continuação do problema 13 em que calculamos a capacitância do sistema. Agora queremos achar o deslocamento elétrico.
O legal do vetor deslocamento elétrico é que ele não depende do dielétrico colocado entre as placas, a gente o calcula como se não tivesse nada lá.
A lei de Gauss para o deslocamento elétrico é
Por analogia com o caso do campo elétrico uniforme de um capacitor de placas paralelas, dado por , temos que
Vetorialmente podemos escrever
Aí você pode pensar, beleza, problema resolvido, certo? ERRADO! ERRADÍSSIMO! Essa questão é a maior pegadinha da vida!
O fato de a gente ter dielétricos diferentes em contato com as duas placas muda tudo: a distribuição de cargas não vai ser mais uniforme entre as placas dos capacitores, teremos uma carga do lado do esquerdo e uma carga do lado direito, de modo que
Além disso, , de modo que
Nosso objetivo vai ser encontrar e !
Passo 2
Para achar e eu recomendo você voltar ao problema 13 em que calculamos a capacitância do sistema pensando em dois capacitores associados em paralelo, com capacitâncias dadas por
Com isso, podemos relacionar as tensões em cada capacitor por
Mas como os capacitores estão em paralelo, temos que
Daí segue que
Logo,
Por outro lado, devemos ter
Assim, substituindo a última equação:
Analogamente,
Com isso podemos escrever as expressões para o vetor deslocamento elétrico:
Note que indica o dielétrico da direita e o da esquerda! Observe que se os dielétricos fossem iguais teríamos
de modo que o vetor deslocamento elétrico seria simplesmente , como foi discutido no passo 1.
Eu sei que no começo da resolução eu disse que o deslocamento elétrico não depende do dielétrico, e ele realmente não depende. Ele depende apenas das cargas livres. O que acontece nesse problema é que as cargas livres vão depender de alguma forma dos dielétricos, e por isso que no final o deslocamento elétrico passa a depender deles também!
Passo 3
No item (b) queremos achar o vetor polarização. Para isso, recorremos a expressão:
Assim,
Logo,
Ou ainda,
Aqui temos que tomar um cuidado: do lado direito temos um dielétrico e do lado esquerdo temos outro, de modo que é diferente de cada lado e as expressões de são diferentes de cada lado. Para temos que
Analogamente, fazemos a mesma conta para e encontramos:
Isso fecha o item (b).
Passo 4
Para terminar, queremos as cargas acumuladas nas placas. Repare que essa conta já foi feita no passo 2:
Problema resolvido 😉.