Enunciado

Um capacitor esférico de raio interno a e raio externo b tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura c - a e constante dielétrica κ 1 , e outra de espessura b - c e constante dielétrica κ 2 . Calcule a capacitância deste capacitor.

Passo 1

Pelo que foi dito no enunciado, podemos visualizar o capacitor da seguinte forma

Vamos lembrar que capacitância em um capacitor esférico preenchido com dielétrico é da forma

C = 4 π ϵ 0 κ R 1 R 2 R 1 + R 2

Portanto, podemos escrever a capacitância correspondente a cada camada

C 1 = 4 π ϵ 0 κ 1 a c c - a

C 2 = 4 π ϵ 0 κ 2 b c b - c

Passo 2

Esses capacitores estão em série, portanto podemos escrever a capacitância equivalente

1 C e q = C 1 + C 2 C 1 C 2

Para facilitar nossa conta, podemos chamar

x = 4 π ϵ 0 κ 1 ;   y = 4 π ϵ 0 κ 2

Portanto

1 C e q = c - a x a c + b - c y b c

1 C e q = c x a c - c x a c + b y b c - c y b c

1 C e q = c x a - a x c + b y c - c y b

Substituindo x e y , temos

1 C e q = 1 4 π ϵ 0 1 κ 1 1 a - 1 c + 1 κ 2 1 c - 1 b

Resposta

1 C e q = 1 4 π ϵ 0 1 κ 1 1 a - 1 c + 1 κ 2 1 c - 1 b

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