Para a refração em uma interface esférica, a primeira distância focal f é definida como o valor de s correspondnente a s ' = ∞ , como na figura (a). A segunda distância focal f ' é defnida como o valor de s ' correspondente a s = ∞ , como indicado na figura (b). (a) Prove que a relação geral entre a distância do objeto e a distância da imagem é dada por f s + f ' s ' = 1

Enunciado

A fórmula para a refração no caso da interface esférica é a seguinte:

No primeiro caso, as variáveis vão ter esses valores aqui:

Então:

E no segundo caso os valores são:

Ou seja:

Beleza, isso dá um sistema de duas equações que a gente pode resolver pra achar aquelas identidades:

Os termos que tem “infinito” no denominador vão sumir:

(a) Nosso primeiro objetivo é provar que:

Essa é fácil, só temos que dividir uma equação pela outra no nosso sistema:

Beleza, demonstrado.

(b) E a última tarefa é provar essa relação aqui:

E o truque pra fazer isso é o seguinte: primeiro a gente volta lá na equação original:

E aí a gente substitui usando a fórmula que a foi provada ali em cima (poderia substituir também):

Então:

Já dá pra cortar dos dois lados:

Agora vamos multiplicar os dois lados por :

Pra sair dessa situação, vamos voltar lá no nosso sistema:

Reorganizando ele um pouco:

Fazendo a segunda equação menos a primeira:

Ótimo, agora é só substituir isso na equação lá de cima:

Pronto! Demonstramos o que o enunciado pediu.

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.