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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 9

Quais das seguintes funções satisfazem a função de onda dada pela Equação 15.12? ( a )   y ( x ,   t )   =   A   c o s ( k x   + ω t ) ;   ( b )   y ( x ,   t )   =   A   s e n ( k x   + ω t ) ;   ( c )   y ( x ,   t )   =   A ( c o s   k x   +   c o s   ω t ) ; (d) Para a onda do item (b), escreva a equação para a velocidade transversal e a aceleração transversal de uma partícula no ponto x.

Passo 1

E ai meus queridos? Tudo certinho?

“Operador! Me dê o número do responde ai!.... Preciso resolver essa questão”

Para resolvermos esse exercício iremos utilizar conceitos de movimento harmônico simples sendo representado por uma onda senoidal, conforme foi visto no capítulo 15 do livro texto.

  1. É pedido que analisemos se a equação dada satisfaz a equação 15.12 dada a seguir:

    2. ∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2   ⟺ ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = 0

    Substituindo a função fornecida no lado esquerdo da segunda expressão, temos:

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ x 2 A cos ⁡ k x + ω t - 1 v 2   ∂ 2 ∂ t 2 A cos ⁡ k x + ω t

    = ∂ ∂ x - k A sen ⁡ k x + ω t - 1 v 2   ∂ ∂ t - ω A sen ⁡ k x + ω t

    = - k 2 A cos ⁡ k x + ω t - 1 v 2 - ω 2 A cos ⁡ k x + ω t

    = ω 2 v 2 - k 2 A cos ⁡ k x + ω t

    Passo 2

    Mas por definição

    ω v = k

    Nos leva á

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = 0

    Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12

    y ( x ,   t )   =   A   c o s ( k x   + ω t )

    Passo 3

  2. É pedido que analisemos se a equação dada satisfaz a equação 15.12 dada a seguir:

    3. ∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2   ⟺ ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = 0

    Substituindo a função fornecida no lado esquerdo da segunda expressão, temos:

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ x 2 A sen ⁡ k x + ω t - 1 v 2   ∂ 2 ∂ t 2 A sen ⁡ k x + ω t

    = ∂ ∂ x k A cos ⁡ k x + ω t - 1 v 2   ∂ ∂ t ω A cos ⁡ k x + ω t

    = - k 2 A sen ⁡ k x + ω t - 1 v 2 - ω 2 A sen ⁡ k x + ω t

    = ω 2 v 2 - k 2 A sen ⁡ k x + ω t

    Passo 4

    Mas por definição

    ω v = k

    Nos leva á

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = 0

    Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12

    y ( x ,   t )   =   A   s e n ( k x   + ω t )

    Passo 5

  3. É pedido que analisemos se a equação dada satisfaz a equação 15.12 dada a seguir:

    4. ∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2   ⟺ ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = 0

    Substituindo a função fornecida no lado esquerdo da segunda expressão, temos:

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ x 2 A ( cos ⁡ k x + cos ⁡ ω t ) - 1 v 2   ∂ 2 ∂ t 2 A ( cos ⁡ k x + cos ⁡ ω t )

    = ∂ ∂ x k A   s e n   k x - 1 v 2   ∂ ∂ t ω A s e n   ω t

    = - k 2 A c o s   k x - 1 v 2 - ω 2 A c o s   ω t

    = ω 2 v 2 cos ⁡ ω t - k 2 cos ⁡ k x A

    Passo 6

    Mas por definição

    ω v = k

    Nos leva á

    ∂ 2 y x , t ∂ x 2 - 1 v 2   ∂ 2 y x , t ∂ t 2 = cos ⁡ ω t - k 2 cos ⁡ k x k 2 A   ≠ 0

    Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função não satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12

    y ( x ,   t )   =   A ( cos ⁡ k x + cos ⁡ ω t )

    Passo 7

  4. Nesse item iremos calcular as expressões para a velocidade e aceleração transversais de uma partícula no ponto.

Para isso iremos calcular a primeira e a segunda derivada temporal da função de onda

y x , t = A   s e n   ( k x + ω t )

A velocidade é obtida pela primeira derivada da função de onda

v y x , t = ∂ ∂ t y x , t

= ∂ ∂ t A   s e n   k x + ω t

v y x , t = ω A cos ⁡ ( k x + ω t )

Para o cálculo da aceleração, basta calcular a segunda derivada

α y x , t = ∂ ∂ t v y ( x , t )

= ∂ ∂ t ω A   c o s   k x + ω t

α y x , t = - ω 2 A sen ⁡ ( k x + ω t )

Concluímos que, a velocidade é dada como v y x , t = ω A cos ⁡ ( k x + ω t ) e a aceleração e dada por α y x , t = - ω 2 A sen ⁡ ( k x + ω t ) .

"Se algo é difícil de fazer, vale a pena ser feito!"

Resposta

  1. Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12.

    2. y ( x ,   t )   =   A   c o s ( k x   + ω t )

  2. Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12.

    3. y ( x ,   t )   =   A   s e n ( k x   + ω t )

  3. Portanto, assim podemos concluir que a seguinte função não satisfaz a equação de onda dada pela Eq 15.12.

    4.             y ( x ,   t )   =   A ( cos ⁡ k x + cos ⁡ ω t )

  4. Concluímos que, a velocidade é dada como v y x , t = ω A cos ⁡ ( k x + ω t ) e a aceleração e dada por α y x , t = - ω 2 A sen ⁡ ( k x + ω t ) .

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