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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 65

Um sifão é um dispositivo para transferir um líquido de um recipiente para outro. O tubo mostrado na figura abaixo deve ser preenchido para iniciar o sifão, mas uma vez feito isso, o fluido fluirá através do tubo até que as superfícies do líquido nos recipientes estejam no mesmo nível. (a) Usando a equação de Bernoulli, mostre que a velocidade da água no tubo é 2 g d   (b) Qual é a pressão na parte mais alta do tubo?

Passo 1

a) Falaaa! Ele quer que a gente use Bernoulli para saber a velocidade dentro do tubo. Bernoulli diz que para um mesmo escoamento, temos uma relação entre entre 2 pontos diferentes do escoamento. Vale que

P 1 + ρ g z 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g z 2 + 1 2 ρ v 2 2

Sendo que z é a altura do ponto em relação a um referencial, P é a pressão no ponto e v a velocidade nesse ponto.

Temos um sifão. Podemos fazer o esquema dele assim:

A água é transportada entre esses dois recipientes.

Podemos pensar que a velocidade dentro do tubo é a mesma em todos os pontos do tubo. Então, ali no ponto B , onde a água no tubo encontra a superfície de água no outro recipiente, teremos essa mesma velocidade que queremos encontrar.

Então aqui vamos encontrar v b , beleza?

Precisamos então comparar esse ponto B com outro ponto para usar Bernoulli. Vamos usar o ponto A porque ele está na superfície da água, e por isso vamos ter mais informações sobre ele. Vamos!

Passo 2

Assumindo que a altura do ponto C é H medindo do fundo dos containers, a equação de Bernoulli entre a superfície do container da esquerda e no ponto b fica:

P a t m + 1 2 ρ v a 2 + ρ g H - h = P a t m + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

A pressão dos dois é P a t m porque ambos estão na superfície de água, e nela temos a pressão atmosférica. Mesmo o ponto B que está dentro do tubo, porque podemos entender que simultaneamente ele está na superfície da água também.

v b queremos achar, mas quem é v a ? Essa é a velocidade na superfície da água v s u p e r f í c i e   fora do tudo. Podemos acha-la usando a equação da continuidade entre esse ponto e o ponto B :

v 1 A 1 = v 2 A 2

E para gente fica

v b A b = v s u p e r f i c i e A s u p e r f i c i e

v a = v s u p e r f i c i e = v b A b A s u p e r f i c i e

Essa A b é a área transversal do tubo, e A s u p e r f í c i e é a área transversal do container. Podemos observar que a área transversal do container é muito maior do que a área transversal do tubo, o que faz com que aquele denominador fique beemm grande.

Por isso, temos que v a = v s u p e r f i c i e = 0 aproximadamente.

Passo 3

Agora substituindo em Bernoulli

P a t m + 1 2 ρ v a 2 + ρ g H - h = P a t m + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

P a t m + ρ g H - h = P a t m + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

Simplificando

ρ g H - h = 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

0 = 1 2 ρ v b 2 + ρ g - d

Isolando v b , temos que:

v b = 2 g d

Como ele pediu 😊

Passo 4

b) Para a letra b), vamos relacionar a pressão no mais alto ponto do tubo P t o p o com a pressão no ponto B :

P t o p o + 1 2 ρ v t o p o 2 + ρ g H = P a t m + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

Pensa comigo: o topo do tubo ainda é tubo né? Vimos que a velocidade é a mesma em todos os pontos do tubo, então a velocidade do topo vai ser igual a velocidade em B :

v t o p o = v b

Então

P t o p o + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H = P a t m + 1 2 ρ v b 2 + ρ g H - h - d

Simplificando:

P t o p o + ρ g H = P a t m + ρ g ( H - h - d )

P t o p o = P a t m + ρ g ( - h - d )

P t o p o = P a t m - ρ g ( h + d )

Prontinho!

Obs: ficamos diferente do gabarito, mas está certinho, tudo bem?

Resposta

a) demonstração nos passos

b) P t o p o = P a t m - ρ g ( h + d )

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