Enunciado

Sobre um bastão delgado de comprimento L posicionado ao longo do eixo x c o m uma ponta n a origem ( x = 0 ) , como mostrado na Fig. 28-46, existe uma carga distribuída por unidade de comprimento dada por λ = k r , onde k é uma constante e r é a distância a, partir da origem. (a) Supondo que o potencial eletrostático no infinito seja nulo, ache V' no ponto P sobre o eixo y . (b) Determine a componente ,vertical, E y , do campo elétrico em P a partir do resultado da parte (a) e ainda por cálculo direto. (c) Por que que E y , a componente horizontal do campo elétrico em P , não pode ser achada utilizando-se o resultado da parte ( a ) ? (d) A que distância a partir do bastăo ao longo do eixo y o potencial é igual à metade do valor do lado esquerdo do bastão?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamo láaaa!

(a) Seguimos o trabalho realizado na Seção 28-6 para uma linha de carga uniforme, começando com Eq. 28-26,

d V = 1 4 π ϵ 0 λ d x x 2 + y 2 d V = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L   k x d x x 2 + y 2

= k 4 π ϵ 0 x 2 + y 2 | 0 L = k 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y

.

Passo 2

(b) A componente y do campo elétrico pode ser encontrada a partir de

E y = - ∂ V ∂ y ,

que (usando um programa de matemática auxiliado por computador) é

E y = k 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2 .

Passo 3

(c) Poderíamos encontrar E x se soubéssemos a variação x de V. Mas não sabemos; encontramos apenas os valores de V ao longo de um valor fixo de x.

Passo 4

(d) Queremos encontrar y tal que a razão

k 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y / k 4 π ϵ 0 ( L )

é meio. Simplificando, L 2 + y 2 - y = L / 2 que pode ser escrito como

L 2 + y 2 = L 2 / 4 + L y + y 2 ,

o u   3 L 2 / 4 = L y ,   c o m   s o l u ç ã o     y = 3 L / 4 .

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Resposta

a. k 4 π ϵ 0 L 2 + y 2 - y .

b.   E y = k 4 π ϵ 0 1 - y L 2 + y 2 .

c. não sabemos; encontramos apenas os valores de V ao longo de um valor fixo de x.

d. y = 3 L / 4 .

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