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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 48

Subindo e descendo a colina. Uma rocha de 28,0   k g se aproxima da base de uma colina com velocidade escalar de 15   m / s . Essa colina tem inclinação de baixo para cima a um ângulo constante de 40,0 º acima da horizontal. O coeficiente de atrito estático e o coeficiente de atrito cinético entre a colina e a rocha são 0,75 e 0,20 , respectivamente. (a) Use a conservação de energia para determinar a altura máxima acima da base da colina atingida pela rocha. (b) A rocha permanecerá em repouso no seu ponto mais alto ou ela vai deslizar de volta para base? (c) Se a rocha deslizar de volta, ache sua velocidade quanto ela atingir a base da colina.

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos uma situação bem clara, a rocha irá tentar subir a colina e por conta da força de atrito, não irá subir indefinidamente, irá parar em algum momento. Iremos descobrir qual é o ponto de parada.

Este desenho maravilhoso considerando o caso ideal, mostra a rocha se aproximando da base da montanha. Vamos usar a conservação de energia para indicar qual a altura que a rocha alcança.

Passo 2

  1. Com base no princípio da conservação de energia, temos que a energia inicial é dada por

    2. E i = K i + U i

    K i energia cinética

    U i energia potencial gravitacional

    Onde considerando nosso sistema na base da montanha, U i = 0 , por consequência U f = m g h para a energia final. Como ao final do problema a rocha tente a parar, temos que K f = 0 . Não podemos esquecer que há um trabalho perdido ao parar a rocha que sobe a montanha.

    Com isso temos

    K i = U f + W f

    m v 2 2 = m g h + μ k ⋅ m g ⋅ d ⋅ c o s θ  

    u k atrito cinético

    m massa

    v velocidade

    h altura

    No trabalho, temos que d é o deslocamento realizado pela rocha ao subir a montanha.

    Usando trigonometria, temos que

    d = h s e n θ

    Desta forma podemos reescrever nossa equação como

    v 2 2 = g h + μ k g h c o s θ s e n θ = g h ( 1 + μ k t a n θ )

    Assim podemos escrever que h será

    h = v 2 2 g ⋅ 1 + μ k t a n θ

    h = 15 2 2 ∙ 9.81 1 + 0.20 tan ⁡ 40 º

    h =   9,3 m

    Passo 3

  2. Para que a rocha permaneça parada no alto da montanha, a força de atrito deve ser igual a componente da força peso que irá querer jogar a pedra de volta para baixo.

    3. f a t = P ⋅ c o s θ

    μ s ⋅ m g = m g ⋅ c o s θ

    θ = 40 º

    Ou seja, para que a rocha ficasse em repouso, ela devera possuir um coeficiente de atrito de

    μ s > 0,766

    Neste caso a rocha não se sustenta e começa a descer a montanha.

    Passo 4

  3. Ainda usando o princípio da conservação de energia, teremos que

U i = W f + K f

m g h =   μ k ⋅ m g   d ⋅ c o s θ + m v 2 2

Desta forma v será

v = 2 g h - 2 μ k g h t a n θ

v = 2 9.81 9.3 - 2 ( 0.20 ) ( 9.3 ) tan ⁡ 40 º

= 11,8   m s

Resposta

  1. h =   9,3 m
  2. Não
  3. v =   11,8   m s
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