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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 20.Problemas Adicionais - Ex. 52

Suponha que 1 m o l de um gás monoatômico ideal inicialmente ocupando um volume de 10 L e a uma temperatura de 300 K seja aquecido a volume constante até 600 K , liberado para se expandir isotermicamente até a pressão inicial e, finalmente, contraído à pressão constante até os valores iniciais de volume, pressão e temperatura. Durante o ciclo, qual é

( a ) a energia líquida introduzida no sistema (gás) na forma de calor e

( b ) o trabalho realizado pelo gás?

c Qual é a eficiência do ciclo?

Passo 1

Bora treinar um pouco de termodinâmica?

Vamos primeiro retirar todas as informações escondidas do enunciado, ok?

  • Gás monoatômico ideal: C V = 3 / 2 R e C P = 5 / 2 R ;
  • Graus de liberdade: g = 3 ;
  • 1 m o l do gás: n = 1 ;
  • Volume inicial: V 1 = 10 L = 0,01 m ³ ;
  • Temperatura inicial: T 1 = 300 K ;
  • Temperatura do segundo processo: T 2 = 600 K

Bom, agora que temos os dados fornecidos vamos entender melhor o que está acontecendo. Esse problema descreve um ciclo em três etapas: 1 º ) aumento de pressão à volume contante; 2 º ) expansão à temperatura constante; 3 º ) uma compressão à pressão constante, fechando um ciclo.

Antes de sair calculando tudo, vou encontrar todos os valores de pressão, volume e temperatura dos três estados, assim fica mais fácil depois identificar o que precisa e usar quando for necessário.

Os dados de cada processo:

  • E s t a d o   1 :

    • Temos os valores de temperatura e volume, podemos determinar a pressão inicial:

    p 1 = n R T 1 V 1 = 1.8,31.300 0,01 = 249300 = 249,3 k P a

  • E s t a d o   2 :

    • Como a transformação 1 → 2 foi isocórico, temos o volume (que permanece o mesmo) e temos a temperatura. Podemos calcular a pressão:

    p 2 = n R T 2 V 1 = 1.8,31.600 0,01 = 498,6 k P a

  • E s t a d o   3 :

    • A transformação 2 → 3 é isotérmica, então a temperatura no estado 3 é a mesma do estado 2 . A pressão volta a ser a inicial, então é a mesma do estado 1 . Assim podemos calcular o volume:

    V 3 = n R T 2 p 1 = 1.8,31.600 249,3.10 3 = 0,02 m ³

    Passo 2

    Agora que temos todos os dados, vamos calcular o que se pede! Primeiro o calor Q envolvido no ciclo. Devemos analisar cada processo, vamos lá?

  • 1 º   p r o c e s s o : i s o c ó r i c o   ( 1 → 2 )

    • Temos que num processo a volume constante W = 0 , então da primenra lei da termodinâmica:

    Δ E i n t = Q = g 2 n R Δ T

    Q = 3 2 . 1 .   8,31   . 600 - 300 = 3739,5 J

  • 2 º   p r o c e s s o : i s o t é r m i c o   ( 2 → 3 )

    • Em um processo isotérmico a variação da energia interna é nula, assim, da primeira lei:

    Q = W = n R T ln ⁡ V 3 V 2  

    Q = 1.8,31.600   . ln ⁡ 0,02 0,01

    Q = 3456,03 J

  • 3 º   p r o c e s s o : i s o b á r i c o   ( 3 → 1 )

    • Em um processo isobárico, pela primeira lei, teremos:

    Q = Δ E i n t + W = g 2 n R Δ T + p Δ V

    Q = g 2 n R T 1 - T 3 + p 3 V 1 - V 3

    Q = 3 2 . 1.8,31   . 300 - 600 + 249,3.10 3 ( 0,01 - 0,02 )

    Q = - 3739,5 - 2493 = - 6232,5 J

    Ufa! Terminamos de calcular todos os calores para os três processos! Viu como ficou fácil ir só pegando os valores lá do passo 1 ? Agora o calor líquido introduzido vai ser a soma de todos os calores com sinal positivo!

    Q l í q = 3739,5 + 3456,03 = 7195,53 J

    Passo 3

    O trabalho líquido vai ser a soma dos trabalhos dos processos individuais. Bora calcular?

  • 1 º   p r o c e s s o : i s o c ó r i c o   ( 1 → 2 )

    • Temos que num processo a volume constante W = 0 , então o primeiro trabalho é nulo.

  • 2 º   p r o c e s s o : i s o t é r m i c o   ( 2 → 3 )

    • Em um processo isotérmico a variação da energia interna é nula, assim, da primeira lei:

    Q = W = n R T ln ⁡ V 3 V 2  

    Então o trabalho é o mesmo valor de Q , que já calculamos no passo anterior.

    W = Q = 1.8,31.600   . ln ⁡ 0,02 0,01

    W = 3456,03 J

  • 3 º   p r o c e s s o : i s o b á r i c o   ( 3 → 1 )

Em um processo isobárico o trabalho é apenas p Δ V :

W = p Δ V = p 3 V 1 - V 3 = 249,3.10 3 ( 0,01 - 0,02 )

W = - 2493

E o trabalho líquido é:

W l í q = 0 + 3456,03 - 2493 = 963,03

Passo 2

A eficiência de um ciclo é calculada pela razão entre o trabalho realizado e o calor introduzido nele pela fonte quente. E nós acabamos de calcular essas duas quantidades na letra ( b ) e ( a ) respectivamente!

ϵ = W Q

Agora é só substituir!

ϵ = 963,03 7195,53 = 0,1338 = 13,38 %

Show!

Vamos pra próxima?!

Resposta

a 7195,53 J

b 963,03 J

( c ) 13,38 %

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