Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 20.Problemas Adicionais - Ex. 53
Suponha que um poço profundo seja cavado na crosta terrestre perto de um dos polos, onde a temperatura da superfície é , até uma profundidade, onde a temperatura é .
Qual é o limite teórico para a eficiência de uma máquina térmica operando entre as duas temperaturas?
Se toda a energia liberada na forma de calor da fonte fria fosse usada para derreter gelo que se encontra inicialmente a , a que taxa água líquida a poderia ser produzida por uma usina de energia elétrica de (trate-a como uma máquina térmica)?
O calor específico do gelo é ; o calor de fusão da água é . (Observe que, nesse caso, a máquina térmica opera efetivamente entre e . Uma energia liberada a não pode aquecer nada acima de .)
Passo 1
Olá pessoal, vamos treinar um pouco de máquina térmica? Bora lá!
Aqui o problema começa falando que esse poço ligando duas extremidades (que serviriam como fontes quente e fria) funcionaria como uma máquina térmica e pergunta a eficiência teórica.
Ora, a eficiência máxima de qualquer máquina é a eficiência de uma máquina de Carnot. Assim da fórmula para temos:
Passo 2
Aqui o problema nos pede a taxa com que se formaria água líquida se tivéssemos uma usina com potência de e que toda energia liberada fosse utilizada. Bom, então precisamos determinar a relação da massa com o calor , a nova eficiência (pois a máquina vai operar entre e ) e juntar tudo isso com a potência (que é trabalho por unidade de tempo). Vamos por partes?
- Primeiro a nova enficiência: com as temperaturas da fonte quente e fria a e respectivamente, temos:
- Agora vamos relacionar a eficiência com o trabalho (e consequentemente com a potência):
- Agora vamos relacionar esse calor da fonte quente, com a fonte fria, pois é ela quem vai ser responsável pela formação de água líquida. Como essa máquina se comporta como uma máquina de Carnot :
Vou juntar essas duas últimas:
E reorganizando os termos temos:
Estamos quaaaase lá!
Passo 3
Vamos analisar e ver o que isso tudo significa:
Nós temos a taxa com que essa máquina cede calor pela fonte fria, certo? E esse calor cedido é responsável por produzir água líquida, certo?
Então agora precisamos determinar como a massa de água líquida se relaciona com esse calor fornecido.
Bom, como o gelo está a uma temperatura de , ele primeiro precisa receber energia para elevar sua temperatura até o ponto de fusão. Usamos aqui o calor sensível .
Depois, já com o gelo à temperatura de fusão, precisamos que ele derreta, sendo assim usamos o calor latente de fusão .
Essas duas constantes são dadas no enunciado. e .
Assim vai ser:
Passo 4
Por último, vamos susbtituir a expressão para (em função da massa ) na expressão encontrada no início do passo :