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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 81

A uma temperatura absoluta T 0 , a aresta de um cubo é igual a L 0 . A densidade desse cubo é ρ 0 , e o material de que ele é feito tem um coeficiente de dilatação volumétrica β . a) Mostre que, quando a temperatura creche de T 0 + ∆ T , a densidade do cubo passa a ser dada aproximadamente por

ρ ≅ ρ 0 ( 1 - β ∆ T )

(Sugestão: Use a expressão 1 + x n ≅ 1 + n x , válida quando x ≪ 1 .) Explique por que esse resultado aproximado é válido somente quando ∆ T for muiro menos do que 1 / β , e explique por que se espera que essa aproximação será válida na maior parte dos casos. b) Um cubo de cobre possui aresta 1,25 cm a 20 ° C . Calcule a variação de volume e de densidade quando sua temperatura aumenta para 70   ° C .

Passo 1

O volume aumenta em Δ V = V 0 β Δ T e a massa é constante.

A densidade é dada por ρ = m / V .

O cobre tem densidade ρ 0 = 8,9 × 10 3 k g / m 3 e coeficiente de expansão do volume β = 5,1 × 10 - 5   C   ° - 1 . O tubo está inicialmente na temperatura T 0 , possui lados de comprimento L 0 , volume V 0 , densidade   ρ 0 e coeficiente de volume expansão β .

Passo 2

  1. Quando a temperatura aumenta para T 0 + Δ T , o volume muda em uma quantidade Δ V , onde ∆ V = β V 0 ∆ T .

    2. Então,

    ρ = m V 0 + ∆ V

    ou eliminando ∆ V :

    ρ = m V 0 + β V 0 ∆ T

    Divida as partes superior e inferior por V 0 e substituindo ρ 0 = m / V 0 , então

    ρ = ρ 0 1 + β ∆ T

    Isso pode ser reescrito como

    ρ = ρ 0 1 + β ∆ T - 1

    Então usando a expressão

    1 + x n ≈ 1 + n x

    onde n = - 1 ρ = ρ 0 1 - β ∆ T   . Isso é exato quando β Δ T é pequeno, o que é o caso se Δ T ≪ 1 / β .

    1 / β é da ordem de 10 4   ° C e Δ T é tipicamente cerca de 10 2   ° C ou menos, portanto, essa aproximação é precisa.

    Passo 3

  2. O cubo de cobre tem lados de comprimento

1,25   c m = 0,0125   m

e

∆ T = 70   ° C - 20   ° C = 50   ° C

Assim

∆ V = β V 0 ∆ T = 5,1 × 10 - 5 ° C - 1 0,0125 m 3 50   ° C = 5 × 10 - 9   m 3

Similarmente,

ρ = ( 8,9 × 10 3   k g / m 3 ) ( 1 - 5,1 × 10 - 5 ° C - 1 50   ° C = 8,877 × 10 3   k g / m 3

Portanto,

∆ ρ = - 23   k g / m 3

Quando a temperatura aumenta, o volume diminui e a densidade aumenta.

Resposta

  1. Mostrado no passo 2;
  2. ∆ ρ = - 23   k g / m 3 .
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