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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 82

Um peso de 250 kg é pendurado no teto com um fio de cobre fino. Em seu modo fundamental, esse fio vibra na frequência de um A (lá) com afinação de concreto (440 Hz). A seguir, você aumenta a temperatura do fio em 40   ° C . a) De que valor irá variar a frequência fundamental? Ela aumentará ou diminuirá? b) De que porcentagem a velocidade da onda no fio irá variar? c) De que porcentagem o comprimento de onda da onda estacionaria fundamental irá variar? Ele aumentará ou diminuirá?

Passo 1

E ai galera!

Aqui, precisamos relembrar que:

v = F μ = F L m

Para o fundamental:

λ = 2 L

E

f = v λ = 1 2 F m L .

F , v e λ   mudam quando T   muda porque L muda.

Δ L   =   L α Δ T

onde L é o comprimento original.

Para o cobre:

α = 1,7 × 10 - 5   ° C - 1

Passo 2

  1. Podemos usar diferenciais para encontrar a mudança de frequência, porque todas as mudanças de comprimento são pequenas porcentagens.

    2. ∆ f = ∂ f ∂ L   ∆ L

    (apenas L muda devido ao aquecimento).

    Assim,

    ∆ f = 1 2 1 2 F m L - 1 / 2 F m - 1 L 2 ∆ L = 1 2 1 2 F m L ∆ L L = 1 2 ∆ L L  

    ∆ f = - 1 2 α ∆ T f = - 1 2 ( 1,7 × 10 - 5   ° C - 1   40   ° C 440   H z = - 0,15   H z

    A frequência diminui desde que o comprimento aumenta.

    Passo 3

  2. A porcentagem a velocidade da onda no fio irá variar é dada por:

    3. ∆ v = ∂ v ∂ L   ∆ L

    ∆ v v = 1 2 F L m - 1 / 2 F m ∆ L F L m = ∆ L 2 L = α ∆ T 2 = 1 2 ( 1,7 × 10 - 5   ° C - 1 40   ° C = 3,4 × 10 - 4 = 0,034 %

    Passo 4

  3. E para encontrarmos a qual porcentagem o comprimento de onda da onda estacionaria fundamental irá variar, sabemos que:

λ = 2 L

Então,

∆ λ = 2 ∆ L → ∆ λ λ = 2 ∆ L 2 L = ∆ L L = α ∆ T

∆ λ λ = 1,7 × 10 - 5   ° C - 1 40   ° C = 6,8 × 10 - 4 = 0,068 %

λ aumenta.

Passo 3

A velocidade da onda e o comprimento de onda aumentam quando o comprimento aumenta e a frequência diminui.

A variação percentual na frequência é de - 0,034 % . . A mudança fracionária em todas essas quantidades é muito pequena.

Resposta

  1. - 0,15   H z ;
  2. 0,034 % ;
  3. 0,068 % , λ aumenta.
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