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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 32.11 - Ex. 53

A Terra possui um momento dipolar magnético de 8,0 ⋅ 10 22   J / T . (a) Se esse momento dipolar fosse causado por uma esfera de ferro magnetizada situada no centro da Terra, qual deveria ser o raio da esfera? (b) Que fração do volume da Terra a esfera ocuparia? Suponha um alinhamento perfeito dos dipolos. A massa específica do núcleo da Terra é de 14   g / c m 3 . O momento dipolar magnético de um átomo de ferro é 2,1 ⋅ 10 23   J / T .

Passo 1

Bom, queremos saber qual deve ser o tamanho de uma esfera de ferro para que ela produza todo o momento magnético da Terra. Foi fornecido o momento magnético do planeta μ T e r r a = 8,0 ⋅ 10 22   J / T e o momento dipolar de um átomo de ferro μ F e = 2,1 ⋅ 10 23   J / T .

A esfera possui N átomos de ferro, de modo que o momento magnético resultante da esfera de ferro, que deve ser igualado ao momento terrestre é N μ F e . Assim,

μ T e r r a = N μ F e

Portanto,

N = μ T e r r a μ F e

Por outro lado, a massa da esfera de ferro será dada por

N m = ρ V = 4 π R 3 ρ 3

Portanto,

N = 4 π R 3 ρ m

Nas contas acima, usei o volume da esfera e que m é a massa de um átomo de ferro (daí, N m é a massa da esfera toda).

Passo 2

Igualando as expressões para N que encontramos no passo anterior:

μ T e r r a μ F e = 4 π R 3 ρ m

Daí,

R 3 = m 4 π ρ ⋅ μ T e r r a μ F e ⇒ R = m 4 π ρ ⋅ μ T e r r a μ F e 1 / 3

Note que m é a massa de um átomo de ferro, que é dada em unidades atômicas por 56   u . Devemos converter essa massa para k g :

56   u ⋅ 1,66 ⋅ 10 - 27 k g u = 9,30 ⋅ 10 - 26   k g

Passo 3

Fazendo as contas com μ T e r r a = 8,0 ⋅ 10 22   J / T , μ F e = 2,1 ⋅ 10 23   J / T , m = 9,30 ⋅ 10 - 26   k g e ρ = 14 ⋅ 10 3   k g / m 3 , obtemos

R = 1,8 ⋅ 10 5   m

Passo 4

Agora queremos calcular que fração do volume da Terra essa esfera de ferro ocuparia. Basta fazer a razão dos volumes:

V e s f V T e r r a = 4 π 3 R 3 4 π 3   R T 3 = R R T 3

Usando R = 180   k m e R T = 6400   k m , obtemos

V e s f V T e r r a = 2,3 ⋅ 10 - 5 = 2,3 ⋅ 10 - 3   %

Resposta

R = 1,8 ⋅ 10 5   m

V e s f V T e r r a = 2,3 ⋅ 10 - 5 = 2,3 ⋅ 10 - 3   %

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