Utilize a lei de transformação de coordenadas dada pela equação 3.46 para mostrar que o produto escalar de dois vetores fica invariante em uma rotação de coordenadas.
Passo 1
Meus pimpolhos...
Inicialmente, garantimos que o produto escalar entre dois vetores, sendo um vetor a e um vetor b, é dado por:
Fazendo uso da eq. 3.46, sabemos que, após uma rotação do eixo em graus, as novas coordenadas de um vetor genérico u passam a ser dadas por:
Então, vamos fazer o produto escalar dos vetores após a rotação do eixo.
Vamos fazer por etapas:
Por fim, vamos somar as equações:
Logo:
Portanto, o produto escalar fica invariante em uma rotação de coordenadas.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)