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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios e Problemas - Ex. 15

Utilize a lei de transformação de coordenadas dada pela equação 3.46 para mostrar que o produto escalar de dois vetores fica invariante em uma rotação de coordenadas.

Passo 1

Meus pimpolhos...

Inicialmente, garantimos que o produto escalar entre dois vetores, sendo um vetor a e um vetor b, é dado por:

a ∙ b   = a x ,   a y ∙ ( b x , b y ) = a x ∙ b x + a y ∙ b y

Fazendo uso da eq. 3.46, sabemos que, após uma rotação do eixo em θ graus, as novas coordenadas de um vetor genérico u passam a ser dadas por:

u x ' = u x cos ⁡ θ + u y s e n ( θ )

u y ' = - u x s e n θ + u y c o s ⁡ ( θ )

Então, vamos fazer o produto escalar dos vetores após a rotação do eixo.

a ' ∙ b ' = a x ' , a y ' ∙ b x ' , b y ' = a x ' ∙ b x ' + a y ' ∙ b y '

Vamos fazer por etapas:

a x ' ∙ b x ' = ( a x cos ⁡ θ + a y s e n ( θ ) ) ( b x cos ⁡ θ + b y s e n ( θ ) )

a x ' ∙ b x ' = a x b x cos 2 ⁡ θ + a x b y s e n θ cos ⁡ θ + a y b x s e n θ cos ⁡ θ + a y b y s e n 2 ( θ )

a y ' ∙ b y ' = ( - a x s e n θ + a y c o s ⁡ ( θ ) ) ( - b x s e n θ + b y c o s ⁡ ( θ ) )

a y ' ∙ b y ' = a x b x s e n 2 θ - a x b y s e n θ cos ⁡ θ - a y b x s e n θ cos ⁡ θ + a y b y cos 2 ⁡ ( θ )

Por fim, vamos somar as equações:

a ' ∙ b ' = a x ' ∙ b x ' + a y ' ∙ b y '

a ' ∙ b ' = a x b x ( s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ( θ ) ) + a y b y ( s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ( θ ) )

a ' ∙ b ' = a x b x + a y b y

Logo:

a ∙ b = a ' ∙ b '

Portanto, o produto escalar fica invariante em uma rotação de coordenadas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o produto tensorial a b entre os vetores a = 2 i + j + 3 k e b = 3 i + 2 j + 2 k .
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