Sejam os vetores a = 5 i + 7 j e b = - 3.5 i + 6 k . Calcule (A) o ângulo entre a e b. (B) o produto escalar a ⋅ b . (C) o produto vetorial a × b e (D) e vetor c = 2 a - 3 b

Passo 1

Salve pessoas, tudo certo? Então, nesta questão iremos fazer as coisas de trás pra frente, porque é mais simples dessa forma, beleza? Vamos começar com o item (D), nele ele pede:

c = 2 a - 3 b

Logo,

c = 2 5,7 , 0 - 3 ( - 3.5,0 , 6 )

Vamos simplesmente somar coordenada por coordenada, sem mistério.

c = 20.5 i + 14 j - 18 k

Passo 2

No item (C), o produto vetorial de a × b é dado por uma matriz do tipo:

a × b = i j k i a j a k a i b j b k b

Portanto, para a gente vai ser:

a × b = i j k 5 7 0 - 3.5 0 6

Resolvendo a matriz, temos:

a × b = 42   i + 24.5   k

Passo 3

Para o item (B), o produto escalar é bem simples. Vamos multiplicar cada coordenada, depois somar tudo. Simples assim. Portanto,

a ⋅ b = 5,7 , 0 ⋅ - 3.5,0 , 6 = 5 ⋅ - 3.5 + 7 ⋅ 0 + 0 ⋅ 6 = - 17.5

Passo 4

Por fim, para o item (A), vamos usar os resultados dos passos 2 e 3. Temos que a formula do ângulo é dada por:

c o s   θ = u ⋅ v u v = 42   i + 24.5   k - 17.5

Isolando o θ ,

θ = 107 °

Resposta

( A ) θ = 107 °

B - 17.5

C 42   i + 24.5   k

D c = 20.5 i + 14 j - 18 k

Resposta

A d = 948.6   m e t r o s

B θ = 121.8 °

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