Enunciado

Verifique se a constante de normalização A0 na função de onda do oscilador harmônico no estado fundamental () 20 0ax x A e− = ((Equação 35-23) é dada por () 1 40 0 A = 2mω h.

Passo 1

Bom, então, nós temos que mostrar que se:

∫ - ∞ + ∞ ψ 0 x 2 d x = ∫ - ∞ + ∞ A 0 e - a x 2 2 d x = 1

Então, A 0 = 2 m ω 0 h 1 4 . Ok? Vamos essa integral!!

Passo 2

Primeiro, vamos ver que se temos tudo elevado ao quadrado, não precisamos desse módulo, pois qualquer número ao quadrado é positivo!! Além disso, vamos tirar o A 0 2 de dentro da integral, por ele ser um termo constante:

∫ - ∞ + ∞ A 0 e - a x 2 2 d x = A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ e - a x 2 2 d x = 1

A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ e - 2 a x 2 d x = 1

Agora, temos que pensar no seguinte: como temos um x 2 ali, se pegarmos um número e seu oposto ( 2 e - 2 , por exemplo), quando elevarmos ao quadrado teremos o mesmo resultado ( 4 , no caso). Aonde quero chegar? Que a mesma coisa que acontece para os números positivos acontece para os negativos nessa função!! Ou seja, temos uma simetria em relação ao eixo y . O gráfico dessa função e - 2 a x 2 é algo do tipo:

Então, repare na simetria em relação ao y . Dessa forma, podemos ver que a área embaixo da curva (sua integral) vai ser igual para ( - ∞ , 0 ) e ( 0 , + ∞ ) . Assim:

A 0 2 ∫ - ∞ + ∞ e - 2 a x 2 d x = 2 A 0 2 ∫ 0 + ∞ e - 2 a x 2 d x

2 A 0 2 ∫ 0 + ∞ e - 2 a x 2 d x = 1

Beleza? Vamos dizer que b = 2 a :

2 A 0 2 ∫ 0 + ∞ e - b x 2 d x = 1

Opa, agora essa é exatamente uma das integrais tabeladas! O resultado é:

∫ 0 + ∞ e - b x 2 d x = 1 2 π b

Como b = 2 a :

∫ 0 + ∞ e - b x 2 d x = 1 2 π 2 a

Substituindo isso na expressão que tínhamos:

2 A 0 2 1 2 π 2 a = 1

Simplificando:

A 0 2 π 2 a = 1

Dessa forma:

A 0 2 = 2 a π 1 2

A 0 = 2 a π 1 4

Passo 3

Agora, temos que lembrar lá do exemplo 35-1, onde tínhamos:

a = m ω 0 2 ℏ

Substituindo esse a na expressão para A 0 :

A 0 = 2 m ω 0 2 ℏ π 1 4

A 0 = m ω 0 ℏ π 1 4

Como ℏ = h 2 π :

A 0 = 2 π m ω 0 h π 1 4

A 0 = 2 m ω 0 h 1 4

Prontinho!

Resposta

Provado no passo a passo.

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