Enunciado

Física - Tipler - Vol 3- Ed: 6º - Capítulo 35.1 - Ex. 10

Classicamente, a energia cinética média do oscilador harmônico é igual à energia potencial média. Suponha que esse resultado também seja verdadeiro para o oscilador harmônico mecânico quântico e use esse resultado, juntamente com o resultado do Problema 8, para determinar o valor esperado de 2px (em que px = mvx) para o estado fundamental do oscilador harmônico.

Passo 1

Bem, nós temos que a energia cinética do oscilador harmônico é:

Para achar o valor esperado é só fazer essa substituição:

Além disso, a energia potencial é:

Assim, do mesmo jeito que a energia cinética:

Se as duas são iguais, como o enunciado diz:

Dessa forma:

Passo 2

No oscilador, temos a relação:

Substituindo na relação do passo anterior:

Passo 3

Agora, vamos achar:

Já vimos no problema 8 os procedimentos até aqui:

Vamos fazer essa substituição:

Assim:

Fazendo as simplificações:

Arrumando:

Essa integral é tabelada:

Além disso, no problema 7 vimos que:

Assim:

Onde :

Como :

Vamos separar algumas coisas para ficar mais fácil de enxergar onde vamos simplificar:

Melhor assim né? Só fazer as contas:

Como :

Passo 4

Opa, agora só falta substituir em:

Resposta

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