Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 71

Você é um astronauta fazendo experimentos de física na lua. Você está interessado na relação experimental entre a distância de queda, , e o tempo decorrido, , de objetos que caem a partir do repouso. Você coletou alguns dados de uma moeda caindo, que estão representados na tabela abaixo:

Você espera que uma relação geral entre a distância e o tempo seja , onde e são constantes a serem determinadas experimentalmente. Para fazer isso, crie um gráfico log-log dos seguintes dados: (a) faça o gráfico de vs. , com como variável da ordenada e como variável da abcissa. (b) Mostre que se você tomar o logaritmo de cada lado da sua relação esperada, você encontrará . (c) Comparando essa relação linear com o gráfico dos dados, estime os valores de e . (d) Se você deixar cair uma moeda, quanto tempo ela deveria levar para cair ? (e) No próximo capítulo, nós vamos mostrar que a relação esperada entre e é , onde é a aceleração do objeto. Qual é a aceleração de objetos em queda na lua?

Passo 1

(a) Para fazer o gráfico pedido podemos colocar os dados do enunciado em um programa de planilhas para gerar o gráfico de em função de . Assim teremos um gráfico desse tipo:

Na verdade o que o programa faz é calcular o log de todos os dados que o enunciado nos deu, e depois montar um gráfico. Aí você coloca os resultados de como seu eixo horizontal, e o de como seu eixo vertical.

Nós usamos um programa, mas você também pode fazer isso usando uma calculadora científica, o que daria muuuuito mais de trabalho, mas ficaria igualzinho, ok.

Como é a variável da ordenada, podemos nomea-la de . E nomear de .

Fazendo num programa de planinhas, o computador nos dá uma equação para essa reta:

Vamos substituir nossos novos nomes das variáveis nessa equação

Percebe que agora sim, isso tem cara de reta. Vamos seguir!

Obs: é bom desenhar esse gráfico no computador mesmo, e achar essa equação da reta que ele vai te dar, tá bem? Para suas continhas baterem com o gabarito.

Passo 2

(b) Agora vamos aplicar o logaritmo na equação geral que foi dada no enunciado:

Aplicamos os log dos dois lados

Para reescrever essa equação, a gente precisa lembrar das propriedades de log. Vamos lembrar da propriedade da soma/produto. Quando a gente tinha no argumento do log um produto de dois valores, a gente podia reescrever isso como a soma do log desses valores.

Por exemplo:

Aplicando isso na nossa situação, temos o produto entre e , então vamos fazer

Agora a gente pode lembrar da propriedade do peteleco. Se a gente tinha um expoente dentro do argumento do log, ele podia sair multiplicando pelo log, por exemplo

Aí no nosso caso

Se torna:

Passo 3

c) Se a gente usar a nomemclatura do passo 1,

Podemos escrever a relação que encontramos no item b, como:

Essa é a equação da reta que a gente esboçou no passo 1. Vamos tentar encontrar os valores de e comparando essa equação com a equação que tiramos do gráfico: