Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 76

O período de um pêndulo simples depende do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade (dimensões ). (a) Encontre uma combinação simples de e que tem dimensões de tempo. (b) Verifique a dependência do período no comprimento medindo o período (tempo para uma “balançada” completa para um lado e para o outro) de um pêndulo para dois valores diferentes de . (c) A fórmula correta relacionando a e envolve uma constante que é um múltiplo de , e não pode ser obtida pela análise dimensional da parte (a). Ela pode ser encontrada por um experimento como na parte (b) se é conhecido. Usando o valor e seus resultados experimentais da parte (b), encontre a fórmula relacionando a e .

Passo 1

(a) Vamos supor que o comprimento está em metros, e que a aceleração da gravidade está em metros por segundo ao quadrado:

Nosso objetivo é encontrar uma combinação simples dessas duas grandezas que resulte apenas em unidades de tempo (ou seja, segundos).

Como o expoente do segundo está negativo, vamos colocar no denominador:

E precisamos cortar aquele metro, então vamos multiplicar nossa expressão por :

E agora precisamos eliminar o expoente , então vamos tirar a raiz quadrada:

Pronto, essa é uma combinação simples que resulta em unidades de tempo.

Passo 2

(b) Se você não tem um pêndulo disponível para fazer esse experimento, uma boa opção é usar um dos vários simuladores disponíveis na internet. Vamos fazer isso para dois pêndulos de comprimento e , respectivamente

Usando esses valores, os períodos encontrados deveriam ser os seguintes:

Passo 3

(c) Agora o enunciado diz que a relação correta entre , e envolve alguma constante múltipla de , que não pode ser obtida por análise dimensional, mas que podemos encontrar nos baseando nos resultados experimentais que encontramos no passo anterior.

Vamos então fazer uma pequena modificação na fórmula que encontramos no passo :

Agora vamos escolher algum dos pares de e que medimos, por exemplo, e :

E então a fórmula correta é:

Resposta

(a) Uma combinação simples é .

(b) Para temos , e para temos .

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