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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 14

Você deve executar quatro deslocamentos sucessivos na superfície plana num deserto, começando na origem de um sistema de coordenadas x y e terminando nas coordenadas ( - 140   m ,   30   m ) . As componentes dos seus deslocamentos são, respectivamente, as seguintes, em metros: ( 20,60 ) , ( b x - 70 ) , ( - 20 ,   c y ) e - 60 , - 70 . Determine (a) b x e c y . Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total.

Passo 1

Este é um problema de soma vetorial utilizando componentes. Para resolver este tipo de questão precisamos ter em mente que:

A → + B → = A x + B x i ^ + A y + B y j ^ + A z + B z k ^

Portanto, podemos somar indivualmente cada componente.

Passo 2

Como a superfície do deserto inicialmente está na origem e ocorre sucessivos deslocamentos, vamos realizar a soma individualmente dos componentes do deslocamento total, cujo o resultado final foi dado, portanto:

Para o eixo x temos:

20 + b x + - 20 + - 60 = - 140

Isolando o b x :

b x =   - 140 - 20 + 20 + 60

b x =   - 80   m

Passo 3

Seguindo o mesmo racíocionio, porém agora para o eixo y , temos:

60 + - 70 + c y - 70 = 30

Isolando o y :

c y = 30 - 60 + 140

c y = 110   m

Passo 4

Para calcular o módulo do vetor resultante r → = - 140 i ^ + 30 j ^ aplicaremos a definição de módulo:

A → = - 140 2 + 30 2 = 143,17   m

Passo 5

Para calcular a direção vamos iniciar ilustrando um triângulo retângulo cujo os catetos são as componentes e a hipotenusa é o módulo do vetor:

Aplicando a definição do cosseno: c o s θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

Substituindo os valores: c o s θ = 30 143,17

Isolando o θ : θ = arccos ⁡ 30 143,17 = 77,9 °

Como ele pede o ângulo que o vetor faz com o semieixo positivo de x , precisamos somar a este ângulo 90 ° , pois fizemos o calculo do ângulo do semieixo positivo de y para o vetor. Portanto: α = 77,9 ° + 90 ° = 167,9 °

Resposta

  1. b x = -   80   m
  2. c y = 110   m
  3. r = 143,17   m
  4. α = 167,9 °
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