6 . Você quer produzir três fios cilíndricos com diâmetro de 1,00   m m , cada um com uma resistência de 1,00   Ω à temperatura ambiente. Um fio é de ouro, um é de cobre e um é de alumínio. Consulte a Tabela 25.1 para os valores de resistividade. ( a ) Qual deve ser o comprimento de cada fio? (b) O ouro tem uma densidade de 1,93 ⋅ 10 4 k g / m 3 . Qual será a massa do fio de ouro? Considerando o preço atual do ouro, esse fio será muito caro?

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a equação 25.10 pois através o enunciado nos pede o comprimento de cada fio e nos dar a resistência e essa equação relaciona diretamente essas duas informações, além de outras informações que foram dadas também e vão ser úteis para “jogar” na equaçãozinha.

Ah, e como o enunciado disse, consulte a Tabela 25.1 pois lá tem os valores de resistividade que serão muito úteis para nós.

Passo 2

a ) A equação 25.10 é dada por:

R = ρ L A     ⇒     L = R A ρ = R π r 2 ρ

Sabemos que:

r = d 2 ⇒ r 2 = d ² 4

Então:

L = R π d ² 4 ρ

Agora que temos a equação que nos dar a resposta com a base nos valores que o enuncia nos dar vamos resolver esse item.

Passo 3

Ouro:

L = 1,0   Ω π 1 ⋅ 10 - 3   m 2 4 ( 2,44 ⋅ 10 - 8   Ω   ⋅ m ) = 32,2   m

Cobre:

L = 1,0   Ω π 1 ⋅ 10 - 3   m 2 4 ( 1,72 ⋅ 10 - 8   Ω   ⋅ m ) = 45 , 7   m

Alumínio:

L = 1,0   Ω π 1 ⋅ 10 - 3   m 2 4 ( 2 , 75 ⋅ 10 - 8   Ω ⋅ m ) = 28,6   m

Passo 4

b ) A massa é dada pelo produto da densidade e seu volume, o enunciado nos dar a densidade e sabemos que o volume do cilindro é dado por:

V = π r ² h

Ou seja:

m = ρ π d 2 4 L = 1,93 ⋅ 10 4   k g / m ³ π 1,0 ⋅ 10 - 3   m 2 32,2   m 4 = 0,488   k g

O valor do ouro quando essa questão foi feita está R $   319,04 a grama, ou seja, o custo do fio de ouro seria:

  R $   319,04 488   g = R $   155.691,52

Definitivamente está fora do meu orçamento kkk

Resposta

a )

L o u r o = 32,2   m

L c o b r e = 45,7   m

L a l u m í n i o = 28,6   m

b )

m = 0,488   k g

Sim, será bem caro!

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