Propagação das Ondas Eletromagnéticas
Teoria
Em alguns exercícios de encontrar as propriedades ondulatórias da luz, pode ser que surjam, dentro da função cosseno, não só uma variável espacial , mas duas variáveis e .
Nestes casos, como encontrar a direção de propagação e o comprimento de onda da luz?
Ondas Eletromagnéticas numa direção qualquer
Quando a onda se propaga paralela a um dos eixos cartesianos, o campo elétrico ou o campo magnético vão sempre depender apenas do tempo e da variável correspondente ao eixo. Por exemplo:
O campo elétrico depende apenas de , logo a onda se propaga paralelamente ao eixo .
Mas como ficaria minha equação caso a onda se propagasse numa direção qualquer?
A onda está se propagando na direção e sentido do vetor unitário . Uma forma de escrever esse vetor de propagação é:
Em geral, a gente não precisa dessa fórmula pra fazer exercícios. Mas eu quis deixar claro que a onda eletromagnética se propaga no sentido do produto vetorial de e ! E isso sim é importante.
Agora, vamos definir um vetor que tenha a mesma direção e sentido de , mas multiplicado pelo número de onda.
O motivo de a gente falar desse vetor é que agora a função senoidal que descreve os campos elétrico e magnético vai sofrer uma pequena mudança.
Nesta nova equação, é como se fosse o número de onda, nos dando também a direção e o sentido da onda. Usamos no lugar de para o ponto do espaço onde estou olhando. O vetor unitário é a direção de vibração do campo elétrico, sendo perpendicular a .
A operação é o produto interno entre e .
Vamos deixar mais concreto. Digamos que a onda se propague no , fazendo um ângulo de com o eixo .
Essa direção é dada pelo vetor unitário . Digamos que o comprimento de onda da luz seja dado por
Assim:
E aí está, desvendado o mistério da dependência com !
Quando o campo elétrico ou o campo magnético depender de mais de uma coordenada, é porque a direção de propagação da onda não é paralela a nenhum eixo.
Notação complexa
Como a gente tem muitos senos e cossenos nessa matéria às vezes é conveniente usar notação diferente chamada de notação complexa. Nada mais é que pegar uma função exponencial de número complexo
Essa exponencial complexa se relaciona com senos e cossenos por meio da fórmula de Euler
A ideia da notação complexa é simplificar a notação (perdão a piadinha hahaha)
Funciona assim:
Vamos supor que você tem o seguinte campo
A forma de escrever usando números complexos é
Quando quiser recuperar o campo original é só pegar a parte real desse número, que será a parte com cosseno
Tá, saquei. Mas de que isso me adianta?
Tem duas vantagens! A primeira é que derivadas ficam mamão com açúcar de fazer por que é a derivada de uma exponencial!
Ex:
A segunda é que fica mais compacto e fica mais fácil pra somar campos
Ex: Supondo que temos dois campos de mesma intensidade
Se quisermos somar os dois temos
Botando o em evidência temos
Pela definição da exponencial complexa
Assim
E agora, vambora pros exercícios?
Notação complexa
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, modificado
Uma onda eletromagnética senoidal plana se propagando no ar possui comprimento de onda igual a e a amplitude do campo elétrico é igual a .
Dê as suas respostas em valores numéricos.
- Qual é a frequência desta onda?
- Sabendo que o vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor , escreva uma possível expressão para o vetor campo elétrico em função do tempo e do espaço.
- A partir da sua resposta do item b), escreva uma possível expressão para o vetor campo magnético em função do tempo e do espaço.
Passo 1
Letra a)
O problema nos dá o comprimento de onda , a amplitude do campo elétrico e nos pede a frequência da onda .
Para descobrir o valor de podemos usar a seguinte relação:
Onde:
;
;
Logo:
Passo 2
Letra b)
O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor .
Sabendo que o vetor de campo elétrico deve ser perpendicular à direção de propagação, podemos colocar o campo elétrico no sentido do vetor .
Sabemos também que uma onda eletromagnética senoidal possui um campo elétrico do tipo:
Nesse caso, aparece um pois a onda se desloca tanto no sentido quanto no sentido .
Em casos como esse, dizemos que
Relaxa! Eu sei que isso é novo! Mas é importante você lembrar disso, porque questões como esta e a anterior costumam cair bastante!
Assim, o número de onda é calculado por
Onde:
;
;
Logo:
Como:
Se a gente fizer o produto:
Como dissemos anteriormente, podemos calcular o valor de através da seguinte relação:
Onde:
;
Logo:
Como o problema nos diz que vale , agora podemos, finalmente, escrever o vetor campo elétrico , dado por:
Passo 3
Letra c)
O vetor de propagação da onda está na mesma direção e é proporcional ao vetor .
Sabemos que o vetor de campo elétrico deve ser perpendicular à direção de propagação , e perpendicular ao vetor campo elétrico .
Daqui se supormos que o unitário do campo magnético seja , então, usando o produto escalar, vamos ter
Como esse produto escalar tem que ser nulo, já achamos que
Para achar as outras duas componentes podemos usar tanto quanto
Usando
Portanto:
Ou usando
Como o vetor tem que ser unitário
Assim finalmente o unitário do campo magnético será
Sabemos esta onda eletromagnética senoidal possuirá um campo magnético do tipo:
Onde:
;
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Letra (c):
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1
É conhecido que um campo elétrico de uma onda plana eletromagnética propagando-se num meio dielétrico (onde ) é dado por
onde , e .
Obs: As relações e as equações para uma onda eletromagnética num meio dielétrico são as mesmas que para uma onda eletromagnética no vácuo, substituindo apenas nas relações a velocidade da onda eletromagnética no vácuo pela velocidade da onda eletromagnética no meio dielétrico.
- Qual é o vetor unitário da direção propagação da onda?
- Calcule o vetor campo magnético da onda.
Passo 1
Qual é o vetor unitário da direção propagação da onda?
No fundo, nós poderíamos reescrever o vetor campo elétrico da seguinte forma:
O termo está associado à direção de propagação da onda, e .
Eu sei que essa não é uma notação que aparece sempre, mas acaba sendo válida principalmente nos casos que a onda não se propaga em uma direção paralela a um dos eixos coordenados.
Como todo o vetor, podemos reescrever o vetor da seguinte forma:
Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:
Agora vamos comparar com a expressão do campo elétrico dado pelo problema:
Comparando essas suas expressões, podemos dizer que:
Logo:
Ou:
Passo 2
Calcule o vetor campo magnético da onda.
Uma forma de calcular o campo magnético utilizando o vetor , é através da expressão:
Tem um detalhe importante que não dá pra esquecer, a onda está se propagando em um meio dielétrico, então ao invés de usarmos , teremos que usar para a velocidade da luz no meio, onde:
Agora já podemos calcular o campo magnético.
Como os números são meio esquisitos, para não nos confundirmos, uma boa é ir substituindo aos poucos. Vamos começar organizando esse cara:
Agora podemos substituir os valores de , , e .
Finalmente:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Uma onda eletromagnética possui módulo do campo magnético e frequência , sabendo que o vetor de propagação da onda está no mesmo sentido e é proporcional a , escreva uma expressão para o vetor campo magnético e determine o comprimento de onda.
Passo 1
Primeiro bora encontrar o comprimento de onda, podemos usar essa relação:
Com e temos:
Passo 2
Agora podemos começar a pensar no campo magnético.
Se o nosso vetor do sentido da onda é proporcional a , o sentido de só pode ser , pois é diferente do sentido de propagação da onda.
Se a onda tem sentido e , temos um que é dado por:
O é a constante de fase que é dada por:
Beleza, agora vamos encontrar o valor do módulo do vetor se temos .
Vamos encontrar a resultante com os termos que acompanham os vetores unitários:
Assim, conseguimos determinar o :
Simplificando
Passo 3
Maneiro, agora faremos um produto escalar de e já que a expressão pro campo magnético genérica é:
Assim:
Beleza, temos quase tudo. Só falta a frequência ângular que é:
Agora é só substituir tudo e se liga que osentido do campo deve ser perpendicular ao sentido da onda e portanto está na direção
Show! Acabamos! :D
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Usando a notação complexa, some os campos elétricos abaixo:
Sendo e
Passo 1
Pode parecer meio confuso somar todas essas coisas diferentes, então bora deixar todos esses campos bem parecidos pra gente converter para notacão complexa e somá-los.
Usando a identidade trigonométrica podemos deixar também com função cosseno, isso é interessante para somarmos depois.
Vamos deixar também os campos em função do menor deles, visando não trabalharmos com frações.
Substituindo também no que , assim:
Passo 2
Vamos passar os vetores para a notação complexa, assim poderemos somá-los.
Para passar pra notacão complexa, o macete é trocar a trigonométrica pelo número de euler e elevarmos esse número a vezes o argumento da trigonométrica. Fazendo isso temos pro vetor :
Fazendo isso para os outros vetores teremos:
Passo 3
Maneiro, agora com todo mundo na notação complexa é só somar os vetores.
Arrumando isso, podemos deixar em evidência.
Podemos melhorar isso um pouco, colocando também o em evidência, assim temos: