Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 139
139. Resolva o Problema , sujeito à restrição de que deve estar sobre o eixo .
Passo 1
Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:
Onde:
representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação
representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.
são as componentes da força aplicada.
Vamos escolher o eixo de rotação para o cálculo do momento o eixo , pois as forças de reação em e não irão contribuir para o cálculo do momento.
O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação , então:
Onde é o vetor que sai do ponto até o ponto . Assim:
Logo:
Assim nossa equação de equilíbrio referente ao momento fica da seguinte forma:
Onde representa o ponto de aplicação da força peso na esquerda e representa a da direita.
Passo 2
Agora analisando a equação de equilíbrio referente ao momento:
Abrindo essa conta, temos:
Então temos que:
Com esse resultado ficamos com duas opções:
Passo 3
Agora temos que escrever como vetor, e para isso vamos multiplicá-lo pelo vetor unitário que tem a mesma direção , então temos o seguinte:
Assim o vetor unitário é dado por:
Logo:
Passo 4
Utilizando o que encontramos no passo anterior, temos o seguinte:
Encontramos então uma função que depende de , isso é muito bom pois encontrando o que minimiza a função podemos achar o mínimo.
Faremos isso igualando a derivada dessa função a .
Passo 5
Calculando a derivada da função e igualando a zero.
Para isso ser verdade, temos que:
Então ficamos com:
Com isso achamos o que minimiza , já que temos isso, então: