Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 138
138. Dois painéis de madeira compensada de , cada qual com peso de , são pregados juntos tal como mostra a figura. Os painéis são sustentados por rótulas em e e pelo arame . Determine a localização de no plano para a tração no arame ser mínima e a correspondente tração mínima.
Passo 1
Para conseguir o resultado que o enunciado vamos utilizar a equação de equilíbrio referente ao momento onde vamos calcular o momento usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:
Onde:
representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação
representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.
são as componentes da força aplicada.
Vamos escolher o eixo de rotação para o cálculo do momento o eixo , pois as forças de reação em e não irão contribuir para o cálculo do momento.
O vetor unitário que vamos usar tem a mesma direção que o eixo de rotação , então:
Onde é o vetor que sai do ponto até o ponto . Assim:
Logo:
Assim nossa equação de equilíbrio referente ao momento fica da seguinte forma:
Onde representa o ponto de aplicação da força peso na esquerda e representa a da direita.
Passo 2
Agora analisando a equação de equilíbrio referente ao momento:
Abrindo essa conta, temos:
Então temos que:
Com esse resultado ficamos com duas opções:
Ou de uma forma melhor que vai nos ajudar a resolver esse problema:
Passo 3
Pela teoria de produto escalar de vetores podemos entender essa expressão acima como a projeção de em como sendo constante, assim é paralelo ao seguinte termo:
Sabendo que é paralelo a esse vetor, se acharmos um vetor unitário desse vetor, poderemos escrever como um vetor que nada mais é que a projeção de nessa direção. Vamos primeiro achar o vetor unitário.
Então:
Então se jogarmos o que temos na equação , ficamos assim:
Mas temos que estar interessados no módulo desse vetor, logo:
Tendo esse valor, conseguimos achar o seguinte:
Passo 4
Então, achamos o mínimo dado por:
Se você reparar ele não tem componente em , logo deve ser paralelo ao plano , cosequentemente deve ser paralelo a esse plano, com isso podemos achar que
Agora, para achar o , sabemos que:
E que:
É o vetor unitário na direção de e pela figura, sabemos que:
Então por uma relação de proporcionalidade, temos: