Enunciado

37. Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, (a) trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor, (b) determine os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor.

Passo 1

Bom! Vamos dar uma olhadinha na figura do enunciado e ver onde podemos começar nossa análise. Olha só! A primeira coisa que temos que fazer é definir por onde vamos começar nosso estudo. Que tal fazermos isso, com nossa direção indo do ponto A até o ponto B ?

Sendo assim, se começarmos pelo ponto A , vamos ter que descobrir as reações que ocorrem em A e em E , né não?

Para fazer isso, tratemos de construir o diagrama de corpo livre para a viga:

Bom, tá meio na cara que não vai ter reação nenhuma em x ; afinal de contas, que outra força existe nesse esboço aí que fizemos para rivalizar com A x . E para descobrir a reação A y , tratemos de fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto E :

⤹ + ∑ M E = 0

- 1,8 A y + 27 ⋅ 1,2 + 54 ⋅ 0,6 - 20 ⋅ 0,6 = 0

1,8 A y = 52,8

A y = 52,8   k N 1,8

A y = 29,33   k N     ↑

E depois, façamos o somatório das forças em y , para descobrir B y :

↑ + ∑ F y = 0

A y + E y - 27   k N - 54   k N - ( 20   k N ) = 0

( 29,33   k N ) + E y - 27   k N - 54   k N - ( 20   k N ) = 0

E y = 71,67   k N   ↑

Passo 2

Pronto! Já obtivemos as reações que precisávamos! Bora logo tratar de descobrir os esforços cortantes e momentos fletores e para isso, temos que separar a viga em vários trechos e analisá-los separadamente, com nossa investigação indo do ponto A até o ponto final em B :

Bora lá!! O primeiro trecho é o A C , e o diagrama de corpo livre para esse trecho está logo abaixo:

Diante dessa belezinha de imagem, fica até fácil saber o que temos fazer. Ora bolas! Para achar o esforço cortante, basta fazer o somatório das forças em y . Olho lá, na nossa convenção adotada do esforço cortante, para baixo:

↑ + ∑ F y = 0

- V + ( 29,33   k N ) = 0

V = 29,33   k N

E para achar o momento fletor, tá vendo aquele ponto que nomeamos de 1 na nossa figura. Pois bem! Vamos fazer o somatório dos momentos em relação a ele:

⤹ + ∑ M 1 = 0

- 29,33 x + M 1 = 0

M 1 = 29,33 x

Pronto! Finalizamos o trecho A C , que vai de 0 até 0,6   m , no limiar da extremidade esquerda de C .

Passo 3

Agora, bora partir pro trecho C D , com a nossa análise agora, indo de 0,6   m na extremidade direita de C até 1,2   m . Para isso, bora lá fazer o esboço do nosso problema:

E como ninguém aqui é papagaio, bastar realizar os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

29,33   k N - ( 27   k N ) - V = 0

V = 2,33   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 2 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 2 = 0

- 29,33 x + M 2 + 27 ( x - 0,6 ) = 0

M 2 = 2,33 x + 16,2

Esses são os valores para o trecho C D .

Passo 4

Adiante, vamos fazer a análise do trecho D E , que vai de 1,2   m até 1,8   m . Para isso, já estamos carecas de saber que devemos fazer o diagrama de corpo livre:

E novamento realizamos os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

29,33   k N - 27   k N - 54   k N - V = 0

V = - 51,67   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 3 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 3 = 0

- 29,33 x + M 3 + 27 x - 0,6 + 54 ( x - 1,2 ) = 0

M 3 = - 51,67 x + 81

Esses são os valores para o trecho D E .

Passo 5

Tá quase acabando! Só falta fazer a análise do trecho E B , que vai de 1,8   m até 2,4   m . E de novo, lá vamos nós fazer o diagrama de corpo livre:

E novamento realizamos os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

29,33   k N - 27   k N - 54   k N + ( 71,67   k N ) - V = 0

V = 20   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 4 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 4 = 0

- 29,33 x + M 4 + 27 x - 0,6 + 54 x - 1,2 - 71,67 ( x - 1,8 ) = 0

M 4 = 20 x - 48,006

Esses são os valores para o trecho E B . Pronto! Terminamos nossa análise.

Passo 6

a) Com as seguintes expressões de esforço cortante e momento fletor, bora pro que interessa. Vamos calcular alguns pontos de interesse para construir o nosso gráfico:

Trecho A C 0 < x ≤ 0,6   m :

Onde:

V = 29,33   k N M 1 = 29,33 x

P a r a   x = 0 → V = 29,33   k N

P a r a   x = 0 → M = 0

P a r a   x = 0,6   m → V = 29,33   k N

P a r a   x = 0,6   m → M = 17,598   k N ⋅ m

Trecho C D ( 0,6   m < x ≤ 1,2   m ) :

Onde:

V = 2,33   k N

M 2 = 2,33 x + 16,2

P a r a   x = 0,6   m → V = 2,33   k N

P a r a   x = 0,6   m → M = 17,598   k N ⋅ m

P a r a   x = 1,2   m → V = 2,33   k N

P a r a   x = 1,2   m → M = 18,996   k N ⋅ m

Trecho D E ( 1,2   m < x ≤ 1,8   m ) :

Onde:

V = - 51,67   k N

M 3 = - 51,67 x + 81

P a r a   x = 1,2   m → V = - 51,67   k N

P a r a   x = 1,2   m → M = 18,996   k N ⋅ m

P a r a   x = 1,8   m → V = - 51,67   k N

P a r a   x = 1,8   m → M = - 12,006   k N ⋅ m

Trecho E B ( 1,8   m < x ≤ 2,4   m ) :

Onde:

V = 20   k N

M 4 = 20 x - 48,006

P a r a   x = 1,8   m → V = 20   k N

P a r a   x = 1,8   m → M = - 12,006   k N ⋅ m

P a r a   x = 2,4   m → V = 20   k N

P a r a   x = 2,4   m → M = 0   k N ⋅ m

E obtido esses valores, tracemos nosso gráfico:

Passo 7

b) Finalmente, como a questão nos pede para determinar os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor, o que temos que fazer nesse caso, é simplesmente usar a visão e ver qual o maior valor em módulo podemos extrair dos gráficos.

Trata-se portanto, de uma coisa simples e ao observar as figuras do P a s s o   6 , notamos que nossas respostas são dadas por:

V m á x = 51,67   k N

M m á x = 18,996   k N ⋅ m

Resposta

a)

b)

V m á x = 51,67   k N

M m á x = 18,996   k N ⋅ m

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