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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 39

39. Determine o momento resultante produzido pelas duas forças em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento das forças usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto de aplicação da força, logo:

r → = { 0,6 i + 0,6 j - 0,4 k }

Depois que acharmos o momento de cada força separadamente, será só soma-los que encontraremos o momento resultante.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o momento para F 1 :

M 0 1 = r → × F 1 → = i j k r x r y r z F 1 x F 1 y F 1 z

= i j k 0,6 0,6 - 0,4 - 20 10 30

= 0,6 ⋅ 30 - - 0,4 ⋅ 10 i - 0,6 ⋅ 30 - - 0,4 ⋅ - 20 j + 0,6 ⋅ 10 - - 20 ⋅ 0,6 k

= 18 + 4 i - 18 - 8 j + ( 6 + 12 ) k

= 22 i - 10 j + 18 k

⇒ M 0 1 = 22 i - 10 j + 18 k

Passo 3

Vamos calcular agora o momento pra F 2 :

M 0 2 = r → × F 2 → = i j k r x r y r z F 2 x F 2 y F 2 z

= i j k 0,6 0,6 - 0,4 - 10 - 30 50

= 0,6 ⋅ 50 - 0,4 ⋅ 30 i - 0,6 ⋅ 50 - 0,4 ⋅ 10 j + 0,6 ⋅ ( - 30 ) - - 10 ⋅ 0,6 k

= 30 - 12 i - 30 - 4 j + ( - 18 + 6 ) k

= 18 i - 26 j - 12 k

⇒ M 0 2 = 18 i - 26 j - 12 k

Passo 4

Agora vamos somar os momentos que calculamos e encontrar o momento resultante.

M 0 R = M 01 + M 02

= 22 i - 10 j + 18 k + 18 i - 26 j - 12 k

= 40 i - 36 j + 6 k

⇒ M 0 R = 40 i - 36 j + 6 k

Resposta

Assim o momento resultante expressado como vetor cartesiano é dado por:

M 0 R = 40 i - 36 j + 6 k

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