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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 21

Localize o centroide overset(-)(x) da área sombreada.

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a área do nosso elemento diferencial, ela é a área mostrada em cinza na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Colocando nossa função em relação a x temos y = 2 k (x - (x^2)/(2 a)) , nosso d A fica:

ⅆ A = 2 k (x - (x^2)/(2 a)) ⅆ x

Para o centroide do nosso elemento diferencial, overset(-)(x) será o próprio overset(-)(x) = x .

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^a 2 k (x - (x^2)/(2 a)) ⅆ x = 2 k (((x^2)/(2) - (x^3)/(6 a))|_0^a :. A = (2)/(6) a^2

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Para overset(-)(x) temos:

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^a x [2 k (x - (x^2)/(2 a)) ⅆ x])/((2)/(6) a^2) = (2 k (((x^3)/(3) - (x^4)/(8 a))|_0^a)/((2)/(6) a^2) = (5 a)/(8)

Resposta

overset(-)(x) = (5 a)/(8)

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Determine o centroide das áreas planas a seguir.
Localize o centroide da área plana mostrada
Localize o centroide overset(-)(x) da área sombreada.
Localize o centroide overset(-)(y) da área sombreada.
Determine a localização r - do centroide C para a metade da lemniscata, r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ ,- 45 ° ≤ θ ≤ 45 ° .