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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 22

Antes que o tronco de uma grande árvore venha a cair, são amarrados cabos AB e BC, como mostra a figura. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e BC são de 555   N e 660   N , respectivamente, determine o momento em relação a O da força resultante exercida sobre a árvore pelos cabos em B.

Passo 1

Diagrama do corpo livre:

Passo 2

Vamos começar escrevendo as coordenadas dos pontos

Escrevendo as coordenadas dos pontos:

O = 0,0 , 0 A = - 0,75 ; 0 , 6   m B = 0,7 , 0   m C = 4,25 ; 0,1

Passo 3

Calculando a posição do vetor r B / A usando a equação:

r B / A = B A = O A - O B

r B / A =   - 0,75 - 0 i + 0 - 0 j + 6 - 0 k - 0 - 0 i + 7 - 0 j + 0 - 0 k r B / A = [ - 0,75 i + 0 j + 6 k ] r B / A = - 0,75 i - 7 j + 6 k m C alculando a magnitude da posição do vetor r B A   : | r B / A | = - 0,75 2 + - 7 2 + 6 2 = 9,25   m  

Passo 4

Calculando a posição do vetor r B / C usando a equação:

r B / C = B C = O C - O B

r B / C =   4,25 - 0 i + 0 - 0 j + 1 - 0 k - 0 - 0 i + 7 - 0 j + 0 - 0 k r B / C = [ 4,25 i + 7 j + 1 k ] r B / C   = 4,25 I - 7 J + 1 k   m

Calculando a magnitude da posição do vetor r B / C   : | r B / A | = 4,25 2 + ( - 7 ) 2 + 1 2 = 8,25   m  

Passo 5

Agora vamos calcular a tração do cabo na direção BA: T B A = T B A ⋅ r B A r B A Dado: T B A = 555   N do enunciado:

T B / A = 555   - 0,75 i - 7 j + 6 k 9,25 = - 45 i - 420 j + 360   N

Fazendo o mesmo para a tração na direção BC:

T B C = 340 i - 560 j + 80 k N

Passo 6

Calculando a força resultante exercida pelos dois cabos:

R = T B A + T B C R = - 45 i - 420 j + 360 k + 340 i - 560 j + 80 k R = 295 i - 980 j + 440 k   N

Passo 7

Calculando a posição do vetor r O B = O B :

r O B = 0 - 0 i + 7 - 0 j + 0 - 0 k = [ 0 i + 7 j + 0 k ]   m

Passo 8

Agora vamos finalmente calcular o momento da força resultante em B sobre O:

M O = r O B = r O B × R

M O = 0 i + 7 j + 0 k × 295 i - 980 j + 440 k = i j k 0 7 0 295 - 980 440 = 440 × 7 i + 0 + 0 - 295 × 7 k + 0 + 0 = 3080 i - 0 j - 2065 k   N ⋅ m

Resposta

M O = 3080 i - 0 j - 2065 k   N ⋅ m

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