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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 29

No P r o b .   4.28 , determinar:

  1. a variação dos valores de h para que σ m < σ 0 ;
  2. o valor de h para que a máxima tensão seja a menor possível e o correspondente valor de k .

Passo 1

O nosso objetivo é determinar o valor de k na nossa equação, para isso precisamos lembrar de duas coisas:

Uma é que a nossa fórmula de tensão é dada pela seguinte equação

σ x = - M y I

E a outra é que a fórmula que relaciona as duas situações é dada por:

σ m = k σ 0

Em que σ m é a tensão na situação final e σ 0 é a tensão inicial, considerando o mesmo momento agindo em ambas as situações. Para isso, o mais difícil no nosso problema é determinar o valor do momento de inércia na situação inicial e final, sendo assim teremos que:

Passo 2

Cálculo do momento de inércia na situação inicial:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2

    I = h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2 + h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 3 2

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 2 2 h 0 2 9

    I = 4 h 0 4 36 + h 0 4 18

    I = 4 h 0 4 36 + 2 h 0 4 36

    I = 4 3 h 0 4 36

    I = 12 h 0 4 36

    I = h 0 4 3  

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Determinando o valor de y, temos que:

  • y - positivo e negativo

    • Calculando a tensão teremos que:

    σ 0 = M y I = M h 0 h 0 4 3 = 3 M h 0 h 0 4 = 3 M h 0 3

    Passo 4

    Cálculo do momento de inércia na situação final:

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

      As medidas temos que:

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2 + I 4 + A 4 d 4 2 + I 5 + A 5 d 5 2

    I = h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 2 2 h 3 2 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 2 2 h 2 9 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + h 4 18 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 h 4 36 + 2 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 4 3 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = 12 h 4 36 + 2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = h 4 3 +   2 h 0 - h 2 h 3 12

    I = h 4 3 + h 0 - h 8 h 3 6

    I = h 4 3 + h 0 - h 4 h 3 3 = h 4 3 + h 0 4 h 3 3 - 4 h 4 3

    I = h 4 3 + h 0 4 h 3 3 - 4 h 4 3

    I = h 0 4 h 3 3 - 3 h 4 3

    I = h 0 4 h 3 3 - h 4

    Sabemos que

    h = 0,9 h 0

    substituindo, teremos que:

    I = h 0 4 0,9 h 0 3 3 - 0,9 h 0 4 = 0,972 h 0 4 - 0,6561 h 0 4 = 0,3159 h 0 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Determinando o valor de y, temos que:

  • y - positivo e negativo

E podemos usar:

h = 0,9 h 0

Calculando a tensão teremos que:

σ m = M y I = M h h 0 4 h 3 3 - h 4

σ m < σ 0

M h h 0 4 h 3 3 - h 4 < 3 M h 0 3

h h 0 4 h 3 - 3 h 4 3 < 3 h 0 3

h h 0 4 h 3 - 3 h 4 < 1 h 0 3

h h 0 3 < h 0 4 h 3 - 3 h 4

3 h 4 < 4 h 0 h 3 - h h 0 3

h 4 < h 0 h 3

h < h 0

Passo 3

Para termos o valor de h para que a máxima tensão seja a menor possível, precisamos usar o nosso conceito de modulo de resistência. Isso ocorre porque o cálculo da tensão é dado pela seguinte equação:

σ m = M w

Onde:

w = I m y

Se queremos que o valor da tensão seja o menor possível, temos que ter que o modulo resistente w tem que ser o maior possível, sabemos que para situação final temos que:

I m = h 0 4 h 3 3 - h 4

y = h

w = I m y = h 0 4 h 3 3 - h 4 h

w = h 0 4 h 2 3 - h 3

Como queremos que o valor do módulo resistente seja máximo, basta derivarmos ele e igualarmos ela a zero.

d w d h = h 0 8 h 3 - 3 h 2 = 0

h 0 8 h 3 = 3 h 2

h 0 8 h = 9 h 2

h 0 8 = 9 h

h 0 8 = 9 h

h = 8 9 h 0

tendo o valor de h que causa o máximo módulo resistente e consequentemente a menor tensão final, podemos determinar agora o valor dessa tensão em função da altura inicial, sendo assim teremos que:

w = h 0 4 h 2 3 - h 3

w = h 0 4 8 9 h 0 2 3 - 8 9 h 0 3  

w = 4 h 0 64 81 h 0 2 3 - 512 729 h 0 3

w = 256 h 0 3 243 - 512 729 h 0 3

w = 768 h 0 3 729 - 512 729 h 0 3

w = 256   729 h 0 3

Substituindo na fórmula de tenções, teremos que:

σ m = M 256   729 h 0 3 = 729 256 M h 0 3  

E também já determinamos o valor da tensão inicial, sendo assim teremos que:

σ 0 = 3 M h 0 3

E pela equação dada no enunciado temos que:

σ m = k σ 0

729 256 M h 0 3 = k 3 M h 0 3

729 256 = 3 k

k = 729 768 = 0,949

Resposta

  1. h < h 0
  2. k = 0,9 49
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