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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 104

Uma barra prismática AB é construída de uma liga de bronze para a qual a curva de tensão-deformação específica em tração é mostrada na figura. Considerando que a curva de σ em função de ϵ é a mesma em compressão e em tração, determin (a) A tensão máxia na barra quando o raio de curvatura da barra for 2540 mm (b) o valor correspondete do momento fletor. (Ver sugestão apresentada no problema 4.102 .)

Passo 1

Dessa questão temos que o raio de curvatura é de

ρ = 2500   m m

b = 20   m m

c = 30 2 = 15 m m

Conhecemosa relação que nos permite descobrir o valor de ε m e encontrarmos σ m no gráfico

1 ρ = ε m c → 1 2500 = ε m 15 → ε m = 0,006

Com isso podemos verificar o gráfico e encontrar o valor de σ m

Observa que tracei uma reta em ε = 0,006 , e no gráfico encontramos

σ m = 300   M P a

Passo 2

O cálculo do momento fletor pode ser meio chatinho, mas uma vez que você entende o passo a passo, já era. Primeiramente temos a relação

ε = - ε m y c

Vamos chamar y c de U simplesmente por ser comum encontramos assim nos livros didáticos.

Temos então para o momento

M = - ∫ - c c y σ b   d y = 2 b ∫ 0 c y σ   d y = 2 b c 2 ∫ 0 1 U σ   d U = 2 b c 2 J

Lembre-se que fiz essa substituição final por que J nos é dado por ∫ 0 1 U σ   d U .

Passo 3

Usando a regra de Simpson, a fórmula da integral fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ

Onde w é o carregamento. Usando Δ U = 0,25 ,   encontramos alguns valores que tabelei abaixo.

O somatório dos valores de w U σ   na tabela nos dá 1567 .

Então o calculo de J fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ = 0,25 3 × 1 5 67 = 103,6   M P a = 103,6 × 10 6 P a

Então pra fechar a questão e encontrarmos M

M = 2 b c 2 J = 2 0,0 2 0,015 2 130,6 × 10 6 = 1,175   k N . m

Resposta

a )   σ m = 300   M P a  

b )   M = 1,175   k N . m

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