Enunciado

Para a barra curva e o carregamento mostrado, determine o erro percentual introduzido na computação da tensão máxima admitindo que a barra é reta. Considere o caso em que (a) r 1 = 20   m m , (b) r 1 = 200   m m , (c) r 1 = 2   m .

Passo 1

Tá legal! Nesse caso, vamos calcular primeiramente a tensão máxima para o caso em que consideramos a barra reta e depois comparar com os valores utilizando as fórmulas para barra curva, com cada um dos raios internos. Sendo assim, vamos começar esse exercício calculando a área da seção transversal da barra curva, que será:

A = b h = 0,06 0,04 → A = 2,4 . 10 - 3   m 2

Agora vamos calcular o momento de inércia da barra, como estamos considerando uma barra reta e temos uma seção retangular, o momento de inércia será dado por:

I = b h 3 12

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

I = 0,06 0,04 3 12 → I = 0,32.10 - 6   m 4

Sendo assim, podemos calcular a tensão máxima (que ocorrerá na extremidade) a partir de:

σ r e t a = - M c I

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

σ r e t a = - 120 20.10 - 3 0,32.10 - 6 → σ r e t a = - 7,5   M P a

Passo 2

Agora para a letra (a), nós vamos começar calculando o valor do raio externo da barra, de acordo com o raio interno dado, então teremos:

r 2 = r 1 + h = 0,02 + 0,04 → r 2 = 0,06   m

Agora, conforme vimos da Fig. 4.61 dessa seção, para a seção retangular, podemos encontrar o raio de superfície neutra através de:

R = h ln ⁡ r 2 r 1

Onde r 2 é o raio externo e r 1 é o raio interno. Dessa forma, substituindo os valores conhecidos para essa equação, chegamos em:

R = 0,04 ln ⁡ 0,0 6 0,02 → R = 36,4 . 10 - 3   m

Agora vamos calcular a excentricidade, que é a distância entre o centroide e o eixo neutro da seção transversal, dessa forma, teremos:

e = r 1 + r 2 2 - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,02 + 0,06 2 - 36,4 . 10 - 3 → e = 3,6 . 10 - 3   m

Agora podemos encontrar a tensão no ponto A (que fica na extremidade esquerda – já que vimos no exercício 4.165 que é o ponto de maior módulo de tensão) através da equação 4.71, dada por:

σ A = M r A - R A e r A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ A = 120 0,02 - 36,4 . 10 - 3 2,4 . 10 - 3 3 , 6 . 10 - 3 0,0 2 → σ A = - 11,39   M P a

Dessa forma, o erro ao se utilizar a aproximação de barra reta nesse caso será:

e r r o = σ A - σ r e t a σ A ( 100 % )

Substituindo os valores conhecidos, temos:

e r r o = - 11,39 - - 7,5 - 11,39 100 % → e r r o = 34,14 %

Passo 3

Agora para a letra (b) vamos repetir os cálculos do passo 2, só que utilizando r 1 = 200   m m , então, com isso, o raio externo será:

r 2 = r 1 + h = 0,2 + 0,04 → r 2 = 0,24   m

Agora podemos calcular o raio de superfície neutra, dado por:

R = h ln ⁡ r 2 r 1 = 0,04 ln ⁡ 0,24 0,2 → R = 0,2194   m

Agora conseguimos encontrar a excentricidade, então teremos:

e = r 1 + r 2 2 - R = 0,2 + 0,24 2 - 0,2194 → e = 0,607.10 - 3   m

E, finalmente, podemos encontrar a tensão no ponto A através da equação 4.71, então teremos:

σ A = M r A - R A e r A = 120 0,2 - 0,2194 2,4.10 - 3 0,607 . 10 - 3 0,2 → σ A = - 7,99   M P a

Com o valor real de tensão, podemos calcular o erro da aproximação, então teremos:

e r r o = σ A - σ r e t a σ A 100 % = - 7,99 - - 7,5 - 7,99 100 % → e r r o = 6,13 %

Passo 4

Agora para a letra (c) vamos repetir os cálculos dos passos 2 e 3, só que utilizando r 1 = 200 0   m m , então, com isso, o raio externo será:

r 2 = r 1 + h = 2 + 0,04 → r 2 = 2,0 4   m

Agora podemos calcular o raio de superfície neutra, dado por:

R = h ln ⁡ r 2 r 1 = 0,04 ln ⁡ 2,04 2 → R = 2,02   m

Agora conseguimos encontrar a excentricidade, então teremos:

e = r 1 + r 2 2 - R = 2 + 2,0 4 2 - 2,02 → e = 66,01 . 10 - 6   m

E, finalmente, podemos encontrar a tensão no ponto A através da equação 4.71, então teremos:

σ A = M r A - R A e r A = 120 2 - 2,02 2,4.10 - 3 66,01 . 10 - 6 2 → σ A = - 7,57   M P a

Com o valor real de tensão, podemos calcular o erro da aproximação, então teremos:

e r r o = σ A - σ r e t a σ A 100 % = - 7,57 - - 7,5 - 7,57 100 % → e r r o = 0,92 %

Resposta

a :   e r r o = 34,14 %

b :   e r r o = 6,13 %

c :   e r r o = 0,92 %

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