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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 80

Uma barra AB esguia de 8 kg de comprimento I = 600 mm é conectada a dois colares de massa desprezível. O colar A está preso a uma mola de k = 1,2 kN / me constante e pode deslizar em uma haste vertical, enquanto o colar B pode deslizar livremente em uma haste horizontal. Sabendo que o sistema está em equilíbrio e que θ = 40 ∘ , determine o período de vibração se o colar B receber um pequeno deslocamento e for liberado.

Passo 1

Haste vertical

y = l s i n ⁡ θ

δ y = l c o s ⁡ θ δ θ δ y = l c o s ⁡ θ δ θ ˙

x = - l c o s ⁡ θ

δ x = - l s i n ⁡ θ δ θ δ x ˙ = - l s i n ⁡ θ δ θ ˙

y - = y 2                 x - = x 2

Passo 2

Posição 1 – máxima velocidade δ θ ˙ m

T 1 = 1 2 J - ( δ θ ˙ ) m 2 + 1 2 m δ x ˙ m 2 + ( δ y - ) m 2

T 1 = 1 2 1 12 m l 2 ( δ θ ˙ ) m 2 + 1 m l 2 s i n ⁡ θ 2 + l 2 c o s ⁡ θ 2 ( δ θ ˙ ) m 2

T 1 = 1 2 m l 2 1 12 + 1 4 δ θ ˙ m 2 = 1 2 m l 2 1 3 δ θ ˙ m 2

V 1 = 1 2 k δ S I 2 + m g y -

Passo 3

Posição 2 (velocidade zero, máximo δ θ m )

T 2 = 0 V 2 = 1 2 k δ y + δ S T 2 + m g y - - δ y - m

Passo 4

Conservação de energia

T 1 + V 3 = T 2 + V 2 :

1 2 m l 2 + 1 3 δ θ ˙ m 2 + 1 2 k δ S T 2 + m g y - = 0 + 1 2 δ y + δ S T 2 + m g y - - δ y - m (1)

m l 2 1 3 δ θ ˙ m 2 + k δ 2 ⋅ r + m g y = k δ y 2 + 2 δ y δ S T + δ s y 2 + m g p ̸ - δ y x

Mas a haste está em equilíbrio

+ Σ M B = m g x 2 - k δ S T x = 0 m g = 2 k δ S T (2)

Substituindo Eq (2) em (1) m l 2 1 3 δ θ ˙ m 2 = k δ y n 2 δ y m = l c o s ⁡ θ δ θ t n

m l 2 1 3 δ θ ˙ m 2 = k l 2 c o s 2 ⁡ θ δ θ m 2

Para movimento harmônico simples δ θ = δ θ m s i n ⁡ ω n t + ϕ

δ θ ˙ m = δ θ u l ω n

1 3 m δ θ m 2 ω n 2 = k c o s 2 ⁡ θ δ θ m 2

ω n 2 = 3 k m c o s 2 ⁡ θ = 3 ( 1200 N / m ) 8 k g c o s 2 ⁡ 40 ∘

ω n 2 = 264.0 7

Período de vibração

τ n = 2 π ω n = 2 π 264.07

τ n = 0.387 s

Resposta

τ n = 0.387 s

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14. Determine a velocidade angular do membro BC e a velocidade do pistao C no instante mostrado.
16. Se o cabo AB é desenrolado com uma velocidade de 3 m/s, e a cremalheira C tem uma velocidade de 1,5 m/s, determine a velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu centro O.
Resolva o Problema 16.58 utilizando o método do centro instantâneo de velocidade nula.
Resolva o Problema 16.54 utilizando o método do centro instantâneo de velocidade nula.