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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 90

A haste 20-1b AB é conectada a dois discos de 8 lb conforme mostrado. Sabendo que os discos rolam sem deslizar, determine a frequência das pequenas oscilações do sistema.

Passo 1

O exercício galera pede que a gente determine a frequência das pequenas oscilações do sistema

Massas e momentos de inércia

m A = m B = 8 32.2 = 0.24845 l b ⋅ s 2 / f t I - A = I - B = 1 2 m A r A 2 = 1 12 ( 0.24845 ) 6 12 2 = 0.031056 l b ⋅ s ⋅ f t

m A B = 20 32.2 = 0.62112 l b ⋅ s 2 / f t

Cinemática

v - m = r A θ ˙ m = 6 12 θ ˙ m = 0.5 θ ˙ m v A B = 2 12 θ ˙ m = 1 6 θ ˙ m

Passo 2

Posição 1 – máximo deslocamento

T 1 = 0 V 1 = - W A B 4 12 c o s ⁡ θ m = - 80 12 c o s ⁡ θ m

Posição 2 – rapidez máxima

T 2 = 1 2 m A v m 2 + 1 2 l - A θ ˙ m 2 + 1 2 m B v m 2 + 1 2 I - B θ ˙ m 2 + 1 2 m A B v A B 2

= 2 1 2 ( 0.24845 ) 0.5 θ ˙ m 2 + 1 2 ( 0.031056 ) θ ˙ m 2 + 1 2 ( 0.62112 ) 1 6 θ ˙ m 2 = 0.101795 θ ˙ m 2

V 2 = - W A B 4 12 =   - 80 12

Passo 3

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 - 80 12 c o s ⁡ θ m = 0.101795 θ ˙ m 2 - 80 12

θ ˙ m 2 = 65.491 1 - c o s ⁡ θ m

≈ 65.491 1 2 θ m 2 = 32.745 θ m 2

θ m = 5.7224 θ n i

Movimento harmônico simples

θ ˙ m = ω n θ m

ω n = 5.7224 r a d / s

Frequência

f n = ω n 2 π = 5.7224 2 π

f n = 0.911 H z

Resposta

f n = 0.911 H z

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