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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 154c

A carga de 120   k N pode ser aplicada a qualquer ponto da circunferência de r a i o   40   m m mostrada. Se θ = 20 ° , determinar:

  1. O ponto onde o eixo neutro intercepta a linha ABD;

Passo 1

Se tivermos as tensões em todos os pontos, conseguimos calcular os efeitos de tensões e assim temos a LN, podemos assim ver o nosso problema.

Sabemos que a tensão pode ser definida da seguinte maneira:

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M x = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   x

x   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I x x = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Sabemos que os momentos são dados por:

M z = - P r C o s θ

M x = - P r S e n θ

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Se definirmos a seção dessa seguinte maneira:

Teremos que:

A = b h

I x x = h b 3 12

I z z = b h 3 12

Para cada um dos pontos as nossas coordenadas serão:

σ = - P b h + - P r C o s θ   .     x b h 3 12 - - P r S e n θ   .     z h b 3 12

σ = - P b h - 12 P r C o s θ   .     x b h 3 + 12 P r S e n θ   .     z h b 3

σ A = - P b h - 12 P r C o s θ   .     - h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   .     b 2 h b 3

σ B = - P b h - 12 P r C o s θ   .     h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   .     b 2 h b 3

σ C = - P b h - 12 P r C o s θ   .     - h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   .     - b 2 h b 3

σ D = - P b h - 12 P r C o s θ   .     h 2 b h 3 + 12 P r S e n θ   .   - b 2 h b 3

σ A = - P b h + 6 P r C o s θ   . b h 2 + 6 P r S e n θ   h b 2

σ B = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 + 6 P r S e n θ   h b 2

σ C = - P b h + 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

σ D = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Sabemos que:

P = 120   k N = 120000   N

b = 100   m m

h = 160 m m

r = 40 m m

θ = 20 °

Substituindo teremos que:

σ A = - 120000 100   .     160 + 6   .   120000   .   40   .     C o s 20   100   .     160 2 + 6   .   120000   .   40   .     S e n 20   160   .   100 2 = 9,23   M P a

σ B = - 120000 100   .     160 - 6   .   120000   .   40   .     C o s 20   100   .     160 2 + 6   .   120000   .   40   .     S e n 20   160   .   100 2 = - 11,92   M P a

σ C = - 120000 100   .     160 + 6   .   120000   .   40   .     C o s 20   100   .     160 2 - 6   .   120000   .   40   .     S e n 20   160   .   100 2 = + 3,00   M P a

σ D = - 120000 100   .     160 - 6   .   120000   .   40   .     C o s 20   100   .     160 2 - 6   .   120000   .   40   .     S e n 20   160   .   100 2 = - 24,22   M P a

Tendo as tensões, podemos anotar elas na nossa seção.

Olhando a face com a reta AB e desenhando o diagrama, teremos que:

Olhando a face com a reta CD e desenhando o diagrama, teremos que:

Assim a LN será:

Resposta

c) a LN está a 69,8 mm do ponto A na direção AB e a 17,33 de C na direção CD

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