Um perfil laminado de aço de W 200   x   41 , de pequeno comprimento, suporta uma placa rígida onde duas cargas P e Q são aplicadas como mostrada. As deformações nos dois pontos A e B, localizados sobre as faces externas das abas, foram medidas e são:

ε A = - 550   .   10 - 6 m m m m         e               ε B = - 680   .   10 - 6 m m m m          

Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar a intensidade de cada carga.

Passo 1

Para essa questão temos dois itens a serem resolvidos, primeiro determinar a força que causa essas deformações nos pontos A e B e o respectivo braço de alavanca que causaria essas deformações.

Para isso temos que saber o seguinte, se temos deformações, temos como calcular tensões pela seguinte fórmula:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

Mas pensa no seguinte, se queremos determinar as cargas que agem na seção, e temos as tensões, podemos pensar da seguinte forma.

  • As tensões vão ser causadas pela carga axial que age na nossa seção, ou seja, a carga P e Q espalhada pela área da seção,
  • E como essa carga P e Q possuem um braço de alavanca, ela também vai causar um momento fletor, que também vai contribuir na nossa tensão.

Sendo assim, também podemos escrever as nossas tensões pela seguinte equação.

σ A = - F A + M y A I

σ B = - F A + M y B I

Tendo essas duas relações, precisamos agora começar a determinar o que temos, sendo assim podemos anotar no próximo passo.

Passo 2

  • Dados do enunciado
  • Pelos dados do enunciado temos que:

    ε A = - 550   .   10 - 6 m m m m         e               ε B = - 680   .   10 - 6 m m m m

    E = 200   G P a = 200000   M P a = 200   .   10 9 N m 2  

  • Dados da seção
  • Sabemos que a nossa seção é dada com as seguintes dimensões.

    A área da seção vai ser feita da seguinte maneira:

    A = 5320   m m 2 = 5,32   .   10 - 3   m 2

    E o momento de inércia é calculado pela seguinte equação:

    I = 40,8   .   10 6   m m 4 = 4,08   .   10 - 5   m 4

  • Dados de Y para determinar o cálculo das tensões em A e B.

Sendo assim teremos que:

Calculando as tensões pela deformação, teremos que:

σ A = E ε A

σ B = E ε B

σ A = 200   .   10 9 - 550   .   10 - 6 = - 110   .   10 6   P a

σ B = 200   .   10 9 - 680   .   10 - 6 = - 136   .   10 6   P a

Analisando o outro grupo de fórmulas, temos que:

σ A = - F A + M y A I

σ B = - F A + M y B I

Sabemos que:

F = P + Q

M = 0,115 P - 0,115 Q

Substituindo teremos que:

σ A = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( - 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

σ B = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

Sendo assim o nosso sistema será dado por:

- 110   .   10 6 = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( - 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

- 136   .   10 6 = - P + Q 5,32   .   10 - 3 + ( 0,115 P - 0,115 Q ) ( 102,5.10 - 3 ) 4,08   .   10 - 5

- 110   .   10 6 = - 187,97 P + 187,97 Q - ( 288,91 P - 288,91 Q )

- 136   .   10 6 = - 187,97 P + 187,97 Q + ( 288,91 P - 288,91 Q )

- 110   .   10 6 = - 476 , 88 P + 100,94 Q

- 136   .   10 6 = 100,94 P - 476,88 Q

Resolvendo o sistema teremos que:

P = 304682   N = 305   k N

Q = 349678   N = 350   k N

Resposta

P = 305   k N

Q = 350   k N

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