Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 112a
A barra rígida ABC é suportada por duas barras elásticas, AD e BE, de seção transversal retangular uniforme de e feitas de um aço doce considerado elastoplástico, com e . A intensidade da força Q aplicada em B é aumentada de zero a . Sabendo que , determine.
(notas expert: a questão original possuía um erro no enunciado que não apresentava a carga que atuava na estrutura, impedindo assim a solução do problema, dessa maneira optou-se por um enunciado da versão mais recente tendo em vista que esse possui um sentido)
- O valor da tensão normal em cada barra elástica e.
Passo 1
Fala galera, temos um exercício um pouco fora dos padrões que estamos acostumados, mas nada que seja muito assustador, na verdade, ele vai seguir alguns princípios que já conhecemos e alguns princípios novos que vamos ver. Como nosso objetivo são as tensões, vamos precisar das forças, e para isso, precisamos do nosso diagrama de corpo livre, assim teremos que:
Porém, percebemos que temos um problema estáticamente indeterminado, porque temos duas incógnitas ( e uma equação , ou seja, precisamos de uma relação de deformações, montando um pequeno diagrama de deformações, temos que:
Assim podemos dizer que:
Porém, lembre-se que consideremos deformações muito pequenas, ou seja, tão pequenas que podemos fazer a seguinte aproximação:
Assim as deformações são consideradas da seguinte maneira:
Passo 2
Conseguimos uma relação para deformação fazendo uma análise geométrica no passo anterior, mas também temos que lembrar que podemos determinar a nossa deformação pela seguinte equação:
Como nosso objetivo é determinar as forças e com essas forças determinar a tensão, podemos usar essa equação anterior para determinar a força, e depois dividir ela pela área da seção para obter a tensão, assim, teremos que:
Sabemos que:
E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.
E tudo isso que fizemos na barra AD, poderemos fazer na barra BE, assim vamos ter que:
Sabemos que:
E como já sabemos a força, a tensão vai ser bem tranquila de calcular.
Passo 3
Agora que já temos as forças e as tensões, podemos trazer de volta a nossa equação de equilíbrio, assim, teremos que:
Isolando a carga atuante na nossa estrutura, teremos que:
E como já sabemos quanto cada uma dessas forças valem, podemos substitui-las, assim vamos ter que:
Agora vamos guardar essa fórmula porque já vamos usar ela, agora precisamos analisar as resistências das nossas barrinhas a partir das nossas tensões.
Passo 4
Sabemos que a tensão atuante na nossa barra AD é dada por:
E sabemos que a máxima tensão que age nela é a tensão de escoamento, exatamente por estarmos em um estado elastoplástico, assim, podemos admitir que a máxima tensão que pode atuar na nossa barra AD é dada por:
Se igualarmos os dois vamos ter o máximo ângulo para a barra AD, assim vamos ter que:
Se temos o ângulo, temos exatamente a máxima carga que podemos aplicar na nossa estrutura antes que a nossa barra comece a entrar em escoamento, sendo nesse caso a barra AD, assim teremos que:
E perceba, como a carga aplicada na nossa estrutura foi de , temos que a carga aplicada é maior que a carga que a nossa barra AD poderia suportar, logo ela entrou em escoamento, assim, a máxima tensão atuante na nossa barra AD é a tensão de escoamento, assim vamos ter que:
Como a nossa barra entrou em escoamento, para determinar a força nela, basta fazermos o seguinte:
E porque determinamos isso? Porque já que já sabemos a tensão na barra AD, podemos usar ela para determinar a nossa carga e substituir na equação de equilíbrio, assim, temos que:
Sabemos que:
E como temos a força na barra BE, podemos calcular a tensão nela pela equação: