Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 94

Cada um dos membros da treliça mostrada é feita de aço e tem seção transversal de área igual a . Usando-se , determinar a deflexão no ponto , provocada pela carga de .

Passo 1

Oi, pessoas bonitas! Prontos para uma questão de cálculo de deflexão através do método de energia?

O enunciado mostra uma figura com 8 membros da treliça (, , , , e , , ) e quer que a gente calcule a deflexão do ponto produzida pela força que é aplicada em . Como temos que usar o método da energia, vamos calcular a partir da equação que calcula a quantidade de energia que é absorvida pela treliça.

é a energia total absorvida pela treliça. Logo, é a soma das energias absorvidas por cada treliça. Isso é mostrado pela equação abaixo.

Para calcular cada uma dessas energia, vamos precisar calcular as forças aplicadas a cada um dos membros da treliça! A figura abaixo mostra as forças que são aplicadas a cada membro mais a força . Atenção! Essas não são todas as forças que existem no problema. Elas são apenas as forças que entrarão no cálculas das energias mais a força .

Para encontrar as energias de cada membro da treliça, usaremos a equação 10.14 que calcula a energia absorvida por uma barra de comprimento , quando ela sofre a ação de uma força axial .

Agora podemos começar os cálculos no próximo passo.

Passo 2

Para encontrar as forças , , ,, , , e precisamos calcular as reações e da restrição do ponto e a reação do ponto .

Para fazer esses cálculos, vamos usar o diagrama de corpo livre da treliça inteira abaixo.

Primeiro, vamos fazer o equilíbrio de forças na treliça inteira. Esse equilíbrio diz que a soma de todas as forças em vale zero. Como a força está apontando pra baixo, ela ganhará um sinal de menos na equação.

Agora, para encontrar a reação , podemos fazer o equilíbrio de momentos em relação ao ponto . Escolhemos o ponto , porque, nesse ponto, as força de reação desconhecida não tem braço de alavanca e não está presente na equação.

Por fim, podemos obter o valor da reação , fazendo o equilíbrio de forças em .

Pronto! Achamos todas as reações! Agora somos capazes de achar as forças , , ,, , , e aplicadas nos membros da treliça.

Passo 3

Para calcular as forças, vamos fazer o equilíbrio de forças em e em aplicadas aos pontos , , e . A figura abaixo ilustra as forças presentes em todos esses pontos.

Para fazer o equilíbrio de forças em , precisamos lembrar que as forças que apontam pra baixo devem receber um sinal de menos na frente. De forma parecida, devemos por um sinal de menos na frente de forças que apontam para a esquerda nas equações de equilíbrio em .

Abaixo veremos as equações de equilíbrio em e para cada ponto. No ponto temos:

No ponto temos:

No ponto :

Lembrando que é igual a e substituindo esse fato na equação de equilíbrio em do ponto :

Logo:

Usando esse valor de na equação de equilíbrio em e em do ponto :

Usando a equação das forças em no ponto :

Por fim, usando a equação das forças em do ponto :

Conseguimos achar as fórmulas de todas as forças. No entanto, para achar o valor de cada força, precisamos calcular o valor de e .

Passo 4

Para achar e temos que calcular o valor do comprimento do ponto ao pelo teorema de Pitágoras.

é igual ao lado oposto dividido pela hipotenusa . é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa .

Usando esses valores nas fórmulas das forças, achamos:

Com esses dados somos capazes de calcular as energias de cada membro da treliça.

Passo 5

Para achar as energias , , ,, , , e dos membros, usamos as forças que calculamos na equação de energia do passo 1. Antes de usar essa equação, precisamos perceber que os comprimentos , , e valem a metade de .