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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 94

Uma barra uniforme ABC de 2 kg é sustentada por um pino em B e está ligada a uma mola em C. A barra está unida em A a um bloco DE de 2 kg que está ligado a uma mola e pode rodar sem atrito. Sabendo que cada mola pode atuar em tração ou compressão, determine a frequência de pequenas oscilações do sistema quando a barra é girada por meio de um pequeno ângulo e liberada.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine a frequência de pequenas oscilações do sistema quando a barra é girada por meio de um pequeno ângulo e liberada.

Posição ①: T 1 = 1 2 Ī R   θ m 2 ˙ + 1 2   m R   C 2   θ m ˙ + 1 2   m E   ( x 1 ˙ ) m 2

Ī R = 1 12   m R l 2 = 1 2   ( 2   k g ) ( 0.9 m ) ² = 0.135   K g ∙ m ²

m 1 C 2 = 2   K g 0.15   m 2 = 0.0225   K g ∙ m ²

x 1 = 0.6   θ   ˙ m E   ( x 1 ˙ ) m 2 = ( 2   k g ) ( 0.6   θ m ˙ m ) ²

x 1 ˙ = 0.6   θ   ˙ m E   ( x 1 ˙ ) m 2 = 0.72   θ m 2   m ²

T 1 = 1 2   0.135 + 0.0225 + 0.72   θ m 2 ˙  

T 1 = 1 2   ( 0.9 )   θ m ˙

V 1 = 0

Passo 2

Posição ②: T 2 = 0

V 2 = 1 2   K   ( x 1 ) m   2 + 1 2   K   ( x 2 ) m   2 - m R g c ( 1 - cos ⁡ θ m )

( x 1 ) m = 0.6   θ m                                   x 2 = 0.3   θ m

1 cos ⁡ θ m = 2 sin ⁡ ²   θ 2   m   ≈ θ m 2

V 2 = 1 2   [ ( 50   N / m ) ( 0.6   m ) ²   θ m 2 + ( 50   N / m ) ( 0.3   m ) ²   θ m 2 - ( 2   k g ) ( 9.81 m / s ² ) ( 0.15 ) θ m 2

V 2 = 1 2   18 + 4.5 - 2.943 θ m 2

V 2 = 1 2   ( 19.55 ) θ m 2

Passo 3

Conservação da energia: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 :

1 2   0.9   θ m 2 ˙ + 0 = 0 + 1 2 ( 19.55 ) θ m 2

Movimento harmônico simples:

θ m ˙ = ω n 2 θ m 2   0.9 ω n 2 θ m 2 = ( 19.55 ) θ m 2

ω n 2 = 19.55 0.9 = 21.73   s - 2

Frequências de oscilações: ƒ n = ω n 2   π = 21.73 2   π

Resposta

ƒ n = 0.742   H z

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