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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 70

Uma esfera A de 14 onças e uma esfera C de 10 onças são fixadas às extremidades de uma haste AC de peso desprezível que pode girar em um plano vertical em torno de um eixo em B. Determine o período de pequenas oscilações da haste.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período de pequenas oscilações da haste

Posição 1

T 1 = 0 V 1 = W c h C - W A h A

h C = B C 1 - c o s ⁡ θ m h A = B A 1 - c o s ⁡ θ m

Passo 2

Pequenos ângulos

1 - c o s ⁡ θ m τ θ m / 2 2

V 1 = W C B C - W A B A θ m 2 2

V 1 = 10 16 b 8 12 f t - 14 16 l b 5 12 f t θ n 2 2

V 1 = ( 0.4167 - 0.3646 ) θ w 1 2 2 = 0.05208 θ m 2 2

Passo 3

Posição 2

V 2 = 0 T 2 = 1 2 m C v 0 m 2 + 1 2 m A v A m 2 , v C n t = 8 12 θ ˙ m 2

T 2 = 1 2 m C 8 12 2 θ ˙ m 2 + 1 2 m A 5 12 2 θ ˙ m 2 v A m = 5 12 θ ˙ m 2

T 2 = 1 2 g 10 16 8 12 2 + 14 16 5 12 2 W n 2 θ m 2 θ ˙ m 2 = W n θ m

T 2 = 1 2 g ( 0.2778 + 0.1519 ) W n 2 θ m 2 = 1 2 g ( 0.4297 ) W n 2 θ m 2

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2 : 0 + 0.05208 θ m 2 2 = 0.4297 2 g W n 2 θ n 2

W n 2 = ( 32.2 ) ( 0.05208 ) ( 0.4297 ) = 3.90 2

Período de oscilação

τ n = 2 π W n = 2 π 3.902

τ n = 3.18 s

Resposta

τ n = 3.18 s

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